Последовательность жонглёра

В математике после́довательность жонглёра — целочисленная последовательность, начинающаяся с натурального числа a₀, в которой каждый следующий элемент определяется следующим рекуррентным соотношением:

$a_{k+1}={\begin{cases}\left\lfloor a_{k}^{\frac {1}{2}}\right\rfloor ,&{\mbox{if }}a_{k}{\mbox{ is even}}\\\\\left\lfloor a_{k}^{\frac {3}{2}}\right\rfloor ,&{\mbox{if }}a_{k}{\mbox{ is odd}}\end{cases}}$

Общие сведения

Последовательности жонглера были открыты американским математиком и автором Клиффордом А. Пиковером. Например, последовательность жонглёра для a₀ = 3:

$a_{1}=\lfloor 3^{\frac {3}{2}}\rfloor =\lfloor 5,196\dots \rfloor =5,$

$a_{2}=\lfloor 5^{\frac {3}{2}}\rfloor =\lfloor 11,180\dots \rfloor =11,$

$a_{3}=\lfloor 11^{\frac {3}{2}}\rfloor =\lfloor 36,482\dots \rfloor =36,$

$a_{4}=\lfloor 36^{\frac {1}{2}}\rfloor =\lfloor 6\rfloor =6,$

$a_{5}=\lfloor 6^{\frac {1}{2}}\rfloor =\lfloor 2,449\dots \rfloor =2,$

$a_{6}=\lfloor 2^{\frac {1}{2}}\rfloor =\lfloor 1,414\dots \rfloor =1.$

Если последовательность жонглёра достигает 1, то все её последующие значения равны 1. Предполагается, что все последовательности жонглёра, в конечном счете, достигают 1. Эта гипотеза была проверена для начальных значений (a₀) до 10⁶, но не доказана. Гипотеза жонглера, таким образом, представляет собой проблему, похожую на проблему Коллатца, о которой Пол Эрдёш сказал, что "математика ещё не готова для таких задач". Для заданного начального числа a₀, l(a₀) определяется как номер первого равного единице элемента, а h(a₀) - как максимальное значение в этой последовательности. Для малых значений a₀ получаем:

a0	Последовательность жонглёра	l(a0) последовательность A007320 в OEIS	h(a0) последовательность A094716 в OEIS
2	2, 1	1	2
3	3, 5, 11, 36, 6, 2, 1	6	36
4	4, 2, 1	2	4
5	5, 11, 36, 6, 2, 1	5	36
6	6, 2, 1	2	6
7	7, 18, 4, 2, 1	4	18
8	8, 2, 1	2	8
9	9, 27, 140, 11, 36, 6, 2, 1	7	140
10	10, 3, 5, 11, 36, 6, 2, 1	7	36

Элементы последовательности жонглёра могут достигать очень больших значений. Например, последовательность жонглёра, начинающаяся с a₀ = 37, достигает максимального значения 24 906 114 455 136. Последовательность жонглёра для a₀ = 48443 достигает максимального значения, которое содержит 972 463 цифры, в 60-м элементе, а 1 достигается на 157-м элементе последовательности.

См. также

• Гипотеза Коллатца
• Открытые проблемы в теории чисел
• Открытые математические проблемы

Литература

• Pickover, Clifford A. Computers and the Imagination. — St. Martin's Press, 1992. — ISBN 978-0-312-08343-4.
• Pickover, Clifford A. The Mathematics of Oz. — Cambridge University Press, 2002. — ISBN 978-0-521-01678-0.
• Weisstein, Eric W. Juggler Sequence (англ.). MathWorld. Дата обращения: 19 июня 2012.
• Letter from Harry J. Smith to Cliiford A. Pickover (англ.) (27 июня 1992). Дата обращения: 19 июня 2012. Архивировано 27 октября 2009 года.