Предельные теоремы Сегё

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математическом анализе, предельные теоремы Сегё описывают асимптотическое поведение детерминантов больших теплицевых матриц.[1] Впервые формулы были доказаны Габором Сегё (англ)

Обозначения[править | править исходный текст]

Пусть φ : TC — функция, заданная на единичной окружности комплексной плоскости. Рассмотрим Теплицеву матрицу Tn(φ) размера n×n , определяемую как

 T_n(\phi)_{k,l} = \widehat\phi_{k-l}, \quad 0 \leq k,l \leq n-1,

где

 \widehat\phi_k = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \phi(e^{i\theta}) e^{-ik\theta} \, d\theta

являются коэффициентами Фурье функции φ.

Первая теорема Сегё[править | править исходный текст]

Первая теорема Сегё [1][2] утверждает, что при φ > 0 и φ ∈ L1(T), справедливо

 \lim_{n \to \infty} \frac{\det T_n(\phi)}{\det T_{n-1}(\phi)}
= \exp \left\{ \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \log \phi(e^{i\theta}) \, d\theta \right\}.

Правая часть является геометрическим средним функции φ (которое определено в силу сотношения между геометрическим и арифметическим средними); обозначим его через G(φ).

Вторая теорема Сегё[править | править исходный текст]

Вторая (строгая) теорема Сегё [1][3] утверждает, что если дополнительно потребовать, чтобы производная φ была гельдеровой функцией порядка α > 0, то справедливо

 \lim_{n \to \infty} \frac{\det T_n(\phi)}{G^n(\phi)}
= \exp \left\{ \sum_{k=1}^\infty k \left| \widehat{(\log \phi)}(k)\right|^2 \right\}.

Примечания[править | править исходный текст]

  1. 1 2 3 Toeplitz determinants // Analysis of Toeplitz operators. — Berlin: Springer-Verlag, 1990. — P. 525. — ISBN 3-540-52147-X
  2. Szegő, G. (1915). «Ein Grenzwertsatz über die Toeplitzschen Determinanten einer reellen positiven Funktion». Math. Ann. 76 (4): 490–503. DOI:10.1007/BF01458220.
  3. Szegő, G. (1952). «On certain Hermitian forms associated with the Fourier series of a positive function». Comm. Sém. Math. Univ. Lund [Medd. Lunds Univ. Mat. Sem.]: 228–238.