Псевдотопологическое пространство

Псевдотопологи́ческое простра́нство — множество с дополнительной предельной структурой определённого типа (так называемой псевдотопологией). Исторически понятие псевдотопологического пространства появилось как обобщение топологического пространства. Псевдотопологические пространства были введены в 1959 г. Фишером . Псевдотопологические пространства естественным образом возникают при построении дифференциального исчисления в пространствах без нормы. Топологические пространства можно рассматривать как частные случаи псевдотопологических.

Определение

Псевдотопологическое пространство $E$ представляет собой множество $M$, наделённое псевдотопологией. Множество $M$ называется несущим множеством пространства $E$ и обозначается через ${\underline {E}}$. Если фильтр $\mathrm {X}$ в $E$ сходится к точке $x$ в данной псевдотопологии, то это обозначается как $\mathrm {X} \downarrow _{x}E$. Псевдотопология в $M$ определяется заданием для каждого $x\in M$ некоторого семейства фильтров в $M$, удовлетворяющих следующим условиям:

1. Если фильтр сходится к $x$, то к $x$ сходится и любой меньший фильтр. $\mathrm {X} \downarrow _{x}E,\Psi \leqslant \mathrm {X} \Rightarrow \Psi \downarrow _{x}E$
2. Если два фильтра сходятся к $x$, то к $x$ сходится и их верхняя грань. $\mathrm {X} _{1}\downarrow _{x}E,\mathrm {X} _{2}\downarrow _{x}E\Rightarrow \mathrm {X} _{1}\vee \mathrm {X} _{2}\downarrow _{x}E$
3. Фильтр $\left[x\right]$ сходится к $x$. $\left[x\right]\downarrow _{x}E$

Литература

• Фрёлихер, А., Бухер В. Дифференциальное исчисление в векторных пространствах без нормы. — М.: Мир, 1970.