Циссоида Диокла

Циссоида Диокла — плоская кривая третьего порядка, которая строится так (см. Рис. 1): В декартовой системе координат, где ось абсцисс направлена по OX, а ось ординат по OY, на отрезке OA=2a, как на диаметре строится вспомогательная окружность. В точке A проводится касательная UV. Из точки O проводится произвольная прямая OF, которая пересекает окружность в точке E и касательную в точке F. От точки F, в направлении точки O, откладывается отрезок FM, длина которого равна длине отрезка OE. При вращении линии OF вокруг точки O, точка M описывает линию, которая называется Циссоида Диокла. Две ветви этой линии на рис. 1 показаны, синим и красным цветами.

Рис. 1

Уравнение циссоиды в прямоугольной системе координат записывается так:

$y^{2}={\frac {x^{3}}{2a-x}}\qquad \qquad (1)\,\!$.

Уравнение циссоиды в полярной системе координат:

$\rho ={\frac {2a\sin ^{2}\phi }{\cos \phi }}\,\!$.

Иногда уравнение циссоиды в полярной системе координат записывают так:

$\rho ={\frac {2a\left(1-\cos ^{2}\phi \right)}{\cos \phi }}=\,\!$

$=2a\left({\frac {1}{\cos \phi }}-\cos \phi \right)=\,\!$

$=2a\left(\sec \phi -\cos \phi \right)\,\!$

Параметрическое уравнение циссоиды:

$x={\frac {2a}{1+u^{2}}}\,\!$

$y={\frac {2a}{u\left(1+u^{2}\right)}}\,\!$, где

$u=\tan \phi \,\!$.

История

Впервые уравнение циссоиды исследовал греческий математик Диокл (Diocles) во II веке до н. э. Диокл строил кривую так: находится точка P, которая расположена на вспомогательной окружности симметрично точке E; ось симметрии — диаметр BD. Из точки P проводится перпендикуляр к оси абсцисс. Точка M, принадлежащая циссоиде, находится на пересечении этого перпендикуляра и прямой OE. Этим методом, Диокл построил только кривую DOB внутри вспомогательной окружности. Если эту часть циссоиды (DOB) замкнуть дугой окружности EAD, то получается фигура, напоминающая своей формой лист плюща. По-гречески плющ — греч. χισσος(«киссос»), от этого и произошло название кривой — «Циссоида».

В современном виде, циссоиду воспроизвел французский математик Жиль Роберваль в 1640 году. Позднее циссоиду также исследовал голландский математик Рене де Слюз (Rene de Sluze).

Особенности кривой

Циссоида симметрична относительно оси абсцисс. Циссоида пересекает вспомогательную окружность в точках B и D, которые принадлежат диаметру этой окружности. Циссоида имеет асимптоту UV, уравнение которой: $x=2a$, где a — радиус вспомогательной окружности.

Площадь между циссоидой и асимптотой

Площадь, заключённая между ветвями циссоиды KOL и асимптотой UV $S_{1}$. Уравнение верхней ветви $OL$:

$y={\sqrt {\frac {x^{3}}{2a-x}}}\qquad \qquad \,\!$   (2)

Половина площади заключённой между циссоидой и асимптотой равна интегралу от уравнения (2) в пределах от $0$ до $2a$.

${\frac {1}{2}}S_{1}=\int _{0}^{2a}{\sqrt {\frac {x^{3}}{2a-x}}}\,dx\qquad \,\!$   (3)

Подстановка:

$u^{2}=2a-x,\qquad x=2a-u^{2},\qquad dx=-2udu$.

Пределы интегрирования:

$x=0\Rightarrow \;u={\sqrt {2a}},\qquad x=2a\Rightarrow \;u=0$

Интеграл (3) преобразуется к виду:

${\frac {1}{2}}S_{1}=-2\int _{\sqrt {2a}}^{0}{\sqrt {\left(2a-u^{2}\right)^{3}}}\,du=\,\!$

$=-2\left({\frac {u}{8}}\left(10a-2u^{2}\right){\sqrt {2a-u^{2}}}+{\frac {3a}{2}}\arcsin {\frac {u}{\sqrt {2a}}}\right){\begin{cases}0\\{\sqrt {2a}}\end{cases}}={\frac {3\pi a^{2}}{2}}\,\!$.

Итак:

${\frac {1}{2}}S_{1}={\frac {3\pi a^{2}}{2}}\,\!$

Площадь $S_{1}$ равна:

$S_{1}=3\pi a^{2}\,\!$.

Объём тела вращения

Объём ($V_{1}$) тела, образаванного при вращении ветви $OL$ вокруг оси абсцисс, расчитывается так:

$V_{1}=\pi \int _{0}^{2a}{\frac {x^{3}}{2a-x}}\,dx=\qquad \,\!$  

$=\pi \int _{0}^{2a}\left(-x-2ax-4a^{2}+{\frac {8a^{3}}{2a-x}}\right)\,dx=\,\!$

$=-{\frac {44\pi a^{3}}{3}}-8\pi a^{3}\left(\ln \left(2a-x\right)\right){\begin{cases}2a\\0\end{cases}}\,\!$.

Если $x\Rightarrow \;2a$, то $\ln {\left(2a-x\right)}\Rightarrow \;-\infty$, то есть $V_{1}\Rightarrow \;\infty$.