Окружность

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Окружность (C), её центр (O), радиус (R) и диаметр (D)

Окру́жность — замкнутая плоская кривая, которая состоит из всех точек на плоскости, равноудалённых от заданной точки[1]. Эта точка называется центром окружности. Отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, называется радиусом; радиусом называется также и длина этого отрезка. Внутренность окружности называется кругом; в зависимости от подхода, круг может включать граничные точки (то есть окружность) или не включать их.

Построение окружности с помощью циркуля

Практическое построение окружности производится с помощью циркуля. Окружность нулевого радиуса (вырожденная окружность) является точкой, далее этот случай исключается из рассмотрения, если не оговорено иное.

Окружность называется единичной, если её радиус равен единице. Единичная окружность является одним из основных объектов тригонометрии.

Далее всюду буква обозначает радиус окружности.

Хорды, дуги и касательные[править | править вики-текст]

Окружность разбивает свою плоскость на две части[2] — конечную внутреннюю (круг) и бесконечную внешнюю, состоящую из точек плоскости, удалённых от центра более чем на .

Прямая, пересекающая окружность в двух различных точках, называется секущей. Отрезок секущей, расположенный внутри окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром; тот же термин используется для его длины. Диаметр вдвое больше радиуса: он делит окружность и круг на две равные части и поэтому является их осью симметрии. Диаметр больше любой другой хорды[3].

Хорда разбивает круг на две части, называемые сегментами круга. Два различных радиуса тоже разбивают круг на две части, называемые секторами круга (см. рисунки)[3].

Любые две не совпадающие точки окружности делят её на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.

Для заданной окружности имеют место следующие свойства[3].

  • Хорды, равноотстоящие от центра, равны. Обратно, если две хорды равны по длине, то они одинаково удалены от центра.
  • Равным хордам соответствуют равные дуги, и наоборот.
  • При пересечении двух хорд произведение отрезков, на которые точка пересечения делит одну из них, равно произведению отрезков другой.

Прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности. Касательная к окружности всегда перпендикулярна её радиусу (и диаметру), проведенному в точке касания. То есть радиус является одновременно и нормалью к окружности[4].

Отрезки касательных к окружности, проведённых из одной точки, не лежащей на окружности, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Углы[править | править вики-текст]

Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности. Центральный угол может быть принят как угловая мера дуги, на которую опирается. Центральный угол, образуемый дугой окружности, равной по длине радиусу, в математике принимается в качестве единицы измерения углов, и называется радиан. С ростом угла значение его радианной меры меняется от 0 до

Из определения радиана следует, что длина любой дуги окружности связана с центральным углом , опирающимся на эту дугу, простым соотношением[5]: Длина хорды, стягивающей ту же дугу, равна Отсюда следует, что длину всей окружности можно вычислить по формуле

Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность.

Внешний угол для вписанного угла — угол, образованный одной стороной и продолжением другой стороны вписанного угла (угол θ коричневого цвета на рис.). Внешний угол для вписанного угла равен вписанному углу, опирающемуся на ту же хорду с другой стороны.

Угол между окружностью и прямой — угол между секущей прямой и одной из двух касательных к окружности в точке пересечения прямой и окружности.

Свойства вписанных углов:

  • Вписанный угол либо равен половине центрального угла, опирающегося на его дугу, либо дополняет половину этого угла до 180°. Вписанный угол, опирающийся на дугу длиной в половину окружности, всегда прямой (равен 90°).
  • Вписанный угол не меняет своей величины при перемещении его вершины вдоль окружности.
  • Два вписанных угла, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Другие свойства:

  • Угол между двумя секущими, проведёнными из точки, лежащей вне окружности, равен полуразности мер дуг, лежащих между секущими.
  • Угол между пересекающимися хордами равен полусумме мер дуги, лежащей в угле, и дуги напротив неё.
  • Угол между касательной и хордой, имеющими общую точку, равен половине угловой меры дуги, стягиваемой хордой.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Изопериметрическое неравенство: Из всех замкнутых кривых данной длины окружность ограничивает область максимальной площади.
  • Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.
  • Точка касания двух окружностей лежит на прямой, проходящей через их центры.
  • Произведение длин расстояний от выбранной точки до двух точек пересечения окружности и секущей, проходящей через выбранную точку, не зависит от выбора секущей и равно абсолютной величине степени точки относительно окружности.
  • Любая нормаль, проведенная внутрь окружности к любой её касательной, всегда постоянна по длине и совпадает с диаметром этой окружности как по направлению, так и по длине. Из последнего свойства вытекает следующее оптическое свойство окружности:
    • Если источник света находится в центре окружности, а окружность является зеркалом, то после отражения от окружности-зеркала лучи снова соберутся в её центре (Собирающее оптическое свойство окружности).

Сводка формул[править | править вики-текст]

Длина окружности:

Радиус окружности:

Диаметр окружности:

Площадь круга радиуса R:

Площадь сектора, ограниченного центральным углом α, измеряемым в градусах, радиусом R:

Площадь сегмента, ограниченного дугой окружности, центральным углом α, хордой:

История[править | править вики-текст]

Окружность, наряду с прямой, является самой распространённой кривой практически во всех областях человеческой деятельности. История её исследования и применения уходит в глубокую древность; особенную важность придало этой теме изобретение колеса. Античные учёные рассматривали прямые и окружности как единственный пример «совершенных» кривых, поэтому в геометрии считались допустимыми только построения с помощью циркуля и линейки, а движение планет моделировалось как наложение вращений по окружностям. Теории окружностей посвящена III книга «Начал» Евклида.

Также в древности было открыто, что отношение длины окружности к её диаметру (число π) одно и то же для всех окружностей. Исторически важной темой многовековых исследований было уточнение этого отношения, а также попытки решить проблему «квадратуры круга». В дальнейшем развитие теории окружностей привело к созданию тригонометрии, теории колебаний и многих других практически важных разделов науки и техники.

Окружность получается как сечение конуса плоскостью, перпендикулярной его оси

Аналитическая геометрия окружностей[править | править вики-текст]

С точки зрения аналитической геометрии, окружность является простой плоской алгебраической кривой второго порядка. Окружность является частным случаем эллипса, у которого полуоси равны, и поэтому окружность относится к коническим сечениям.

Декартовы координаты[править | править вики-текст]

Окружность радиуса r = 1, центр (a, b) = (1.2, −0.5)

Общее уравнение окружности записывается как:

или

где

Точка  — центр окружности,  — её радиус.

Уравнение окружности радиуса с центром в начале координат:

Уравнение окружности, проходящей через точки не лежащие на одной прямой (с помощью определителя):

Тогда в явном виде координаты центра окружности определяются по формулам:

Окружность также можно описать с помощью параметрического уравнения:

В декартовой системе координат окружность не является графиком функции, но она может быть описана как объединение графиков двух следующих функций:

Если центр окружности совпадает с началом координат, функции принимают вид:

Полярные координаты[править | править вики-текст]

Окружность радиуса с центром в точке :

Если полярные координаты центра окружности то проходящая через начало координат окружность описывается уравнением:

Если же центр является началом координат, то уравнение будет иметь вид

Комплексная плоскость[править | править вики-текст]

На комплексной плоскости окружность задаётся формулой:

или в параметрическом виде

Окружности в пространстве[править | править вики-текст]

В пространстве окружность радиуса с центром в точке можно определить как контур диаметрального сечения сферы

плоскостью

,

где  — параметры, не равные одновременно нулю; то есть все точки, лежащие на данной окружности, есть решения системы

Например, при решения этой системы можно задать параметрически следующим образом:

Касательные и нормали[править | править вики-текст]

Уравнение касательной к окружности в точке определяется уравнением

Уравнение нормали в той же точке можно записать как

Концентрические и ортогональные окружности[править | править вики-текст]

Концентрические окружности

Окружности с общим центром, но разными радиусами, называются концентрическими. Две окружности, заданные уравнениями:

являются концентрическими в том и только в том случае, когда и

Две окружности являются ортогональными (то есть пересекающиеся под прямым углом) тогда и только тогда, когда выполняется условие

Дополнительные сведения[править | править вики-текст]

Определение треугольников для одной окружности[править | править вики-текст]

Через вершину треугольника проведена касательная к описанной окружности
  • Треугольник ABC называется вписанным в окружность (A,B,C), если все три его вершины A, B и C лежат на этой окружности. При этом окружность называется описанной окружностью треугольника ABC (См. Описанная окружность).
  • Касательная к окружности, проведенная через любую вершину вписанного в неё треугольника антипараллельна стороне треугольника, противоположной данной вершине.
  • Треугольник ABC называется описанным около окружности (A',B',C'), если все три его стороны AB, BC и CA касаются этой окружности в некоторых точках соответственно C', A' и B'. При этом окружность называется вписанной окружностью треугольника ABC (См. Вписанная окружность).

Варианты определения окружности[править | править вики-текст]

  • Окружность диаметра AB — это фигура, состоящая из точек A, B и всех точек плоскости, из которых отрезок AB виден под прямым углом (Определение через угол, опирающийся на диаметр окружности).
  • Окружность с хордой AB — это фигура, состоящая из точек A, B и всех точек плоскости, из которых отрезок AB виден под постоянным углом с одной стороны, равным вписанному углу дуги AB, и под другим постоянным углом с другой стороны, равным 180 градусов минус вписанный угол дуги AB, указанный выше (Определение через вписанный угол).
  • Фигура состоящая из таких точек что отношение длин отрезков AX и BX постоянно: является окружностью (Определение через окружность Аполлония).
  • Фигура, состоящая из всех таких точек, для каждой из которых сумма квадратов расстояний до двух данных точек равна заданной величине, большей половины квадрата расстояния между данными точками, также является окружностью (Определение через теорему Пифагора для произвольного прямоугольного треугольника, вписанного в окружность, с гипотенузой, являющейся диаметром окружности).
  • Окружность — замкнутая, самонепересекающаяся фигура, обладающая следующим свойством. Если через произвольную точку M внутри неё провести любые хорды AB, CD, EF и т. д., тогда справедливы равенства: . Равенства всегда будут выполняться независимо от выбора точки M и направлений проведенных через неё хорд (Определение через пересекающиеся хорды).
  • Окружность — замкнутая, самонепересекающаяся фигура, обладающая следующим свойством. Если через произвольную точку M вне её провести две касательные до точек их касания с окружностью, например, A и B, тогда их длины всегда будут равны: . Равенство всегда будет выполняться независимо от выбора точки M (Определение через равные касательные).
  • Окружность — замкнутая, самонепересекающаяся фигура, обладающая следующим свойством. Отношение длины любой её хорды к синусу любого её вписанного угла, опирающегося на эту хорду, есть величина постоянная, равная диаметру этой окружности (Определение через теорему синусов).
  • Окружность — это частный случай эллипса, у которого расстояние между фокусами равно нулю (Определение через вырожденный эллипс).

Связанные определения для двух окружностей[править | править вики-текст]

  • Две окружности, имеющие общий центр, называются концентрическими.
  • Две окружности, имеющие лишь одну общую точку, называются касающимися внешним образом, если их круги не имеют других общих точек, и внутренним образом, если их круги лежат один внутри другого.
  • Две окружности, имеющие две общие точки, называются пересекающимися. Их круги (ими ограниченные) пересекаются по области, называемой двойным круговым сегментом.
  • Углом между двумя пересекающимися (или касающимися) окружностями называется угол между их касательными, проведенными в общей точке пересечения (или касания).
  • Также углом между двумя пересекающимися (или касающимися) окружностями можно считать угол между их радиусами (диаметрами), проведенными в общей точке пересечения (или касания).
  • Поскольку для любой окружности её радиус (или диаметр) и касательная, проведенные через любую точку окружности, взаимно перпендикулярны, то радиус (или диаметр) можно считать нормалью к окружности, построенной в данной её точке. Следовательно, два типа углов, определенных в двух предыдущих двух пунктах, всегда будут равны между собой, как углы со взаимно перпендикуярными сторонами.
  • Две окружности, пересекающиеся под прямым углом, называются ортогональными. Окружности можно считать ортогональными, если они образуют прямой угол друг с другом.
  • Радикальная ось двух окружностейгеометрическое место точек, степени которых относительно двух заданных окружностей равны. Иными словами, равны длины четырех касательных, проведенных к двум данным окружностям из любой точки M данного геометрического места точек.

Определения углов для двух окружностей[править | править вики-текст]

  • Угол между двумя пересекающимися окружностямиугол между касательными к окружностям в точке пересечения этих окружностей. Оба угла между двумя пересекающимися окружностями равны.
  • Угол между двумя непересекающимися окружностямиугол между двумя общимикасательными к двум окружностям, образуемый в точке пересечения этих двух касательных. Точка пересечения этих двух касательных должна лежать между двумя окружностями, а не со стороны одной из них (этот угол не рассматривается). Оба вертикальных угла между двумя непересекающимися окружностями равны.

Ортогональность[править | править вики-текст]

  • Две окружности, пересекающиеся под прямым углом, называются ортогональными. Окружности можно считать ортогональными, если они образуют прямой угол друг с другом.
  • Две пересекающиеся в точках A и B окружности с центрами O и O' называются ортогональными, если являются прямыми углы OAO' и OBO'. Именно это условие гарантирует прямой угол между окружностями. В этом случае перпендикулярны радиусы (нормали) двух окружностей, проведенные в точку их пересечения. Следовательно, перпендикулярны и касательные двух окружностей, проведенные в точку их пересечения. Касательная окружности перпендикулярна радиусу (нормали), проведенному в точку касания. Обычно угол между кривыми — это угол между их касательными, проведенными в точке их пересечения.
  • Возможно другое дополнительное условие. Пусть две пересекающиеся в точках A и B окружности имеют середины пресекающихся дуг в точках C и D, то есть дуга AС равна дуге СB, дуга AD равна дуге DB. Тогда эти окружности называются ортогональными, если являются прямыми углы СAD и СBD.

Связанные определения для трех окружностей[править | править вики-текст]

  • Три окружности называются взаимно касающимися (пресекающимися), если любые две из них касаются (пресекаются) друг друга.
  • В геометрии радикальный центр трёх окружностей — это точка пересечения трёх радикальных осей пар окружностей. Если радикальный центр лежит вне всех трёх окружностей, то он является центром единственной окружности (радикальной окружности), которая пересекает три данные окружности ортогонально.

Лемма Архимеда[править | править вики-текст]

Лемма Архимеда. Если окружность вписана в сегмент окружности, стягиваемый хордой , и касается дуги в точке , а хорды — в точке , то прямая является биссектрисой угла . Лемма Архимеда играет важную роль при построении изоциркулярного преобразования.

Доказательство

Пусть — гомотетия, переводящая малую окружность в большую. Тогда ясно, что является центром этой гомотетии. Тогда прямая перейдет в какую-то прямую , касающуюся большой окружности, а перейдет в точку на этой прямой и принадлежащей большой окружности. Вспомнив, что гомотетия переводит прямые в параллельные им прямые, понимаем, что . Пусть и — точка на прямой , такая, что — острый, а — такая точка на прямой , что — острый. Тогда, так как — касательная к большой окружности . Следовательно — равнобедренный, а значит , то есть — биссектриса угла .

Теорема Декарта для радиусов четырех попарно касающихся окружностей[править | править вики-текст]

Теорема Декарта утверждает, что радиусы любых четырёх взаимно касающихся окружностей удовлетворяют некоторому квадратному уравнению. Их иногда называют окружностями Содди.

Многомерное обобщение[править | править вики-текст]

Обобщённую окружность можно определить для любой математической структуры, где задано понятие расстояния. В частности, обобщением для многомерного евклидова пространства является гиперсфера; в трёхмерном пространстве это обычная сфера. В сферической геометрии важную роль играют окружности на сфере, центр которых совпадает с центром сферы («большие круги»).

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф.. и др. Дополнительные главы к учебнику 8 класса // Геометрия. — 3-е издание. — М.: Вита-Пресс, 2003.
  • Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.
  • Корн Г., Корн Т. Свойства окружностей, эллипсов, гипербол и парабол // Справочник по математике. — 4-е издание. — М.: Наука, 1978. — С. 70.
  • Маркушевич А. И. Замечательные кривые, выпуск 4. — М.: Гостехиздат, 1952. — 32 с.
  • Окружность // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1984. — Т. 4.

Ссылки[править | править вики-текст]