Циссоида Диокла

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Рис. 1. Построение циссоиды. Синяя и красная линии — ветви циссоиды.

Циссоида Диокла — плоская алгебраическая кривая третьего порядка. В декартовой системе координат, где ось абсцисс направлена по , а ось ординат по , на отрезке , как на диаметре строится вспомогательная окружность. В точке проводится касательная . Из точки проводится произвольная прямая , которая пересекает окружность в точке и касательную в точке . От точки , в направлении точки , откладывается отрезок , длина которого равна длине отрезка . При вращении линии вокруг точки , точка описывает линию, которая называется Циссоида Диокла. Две ветви этой линии на рис. 1 показаны синим и красным цветами.

Уравнения[править | править вики-текст]

Уравнение циссоиды в прямоугольной системе координат записывается так:

Уравнение циссоиды в полярной системе координат:

Иногда уравнение циссоиды в полярной системе координат записывают так:

Параметрическое уравнение циссоиды:

где

.

История[править | править вики-текст]

Впервые циссоиду исследовал греческий математик Диокл во II веке до н. э. Диокл строил кривую так: находится точка , которая расположена на вспомогательной окружности симметрично точке ; ось симметрии — диаметр . Из точки проводится перпендикуляр к оси абсцисс. Точка , принадлежащая циссоиде, находится на пересечении этого перпендикуляра и прямой . Этим методом Диокл построил только кривую внутри вспомогательной окружности. Если эту часть циссоиды () замкнуть дугой окружности , то получается фигура, напоминающая своей формой лист плюща. По-гречески плющ — χισσος («хиссос»), от чего и произошло название кривой — «Циссоида».

В современном виде циссоиду воспроизвел французский математик Жиль Роберваль в 1640 году. Позднее циссоиду также исследовал голландский математик Слюз.

Особенности кривой[править | править вики-текст]

Циссоида симметрична относительно оси абсцисс. Циссоида пересекает вспомогательную окружность в точках и , которые принадлежат диаметру этой окружности. Циссоида имеет один касп и асимптоту , уравнение которой: , где  — радиус вспомогательной окружности.

Площадь между циссоидой и асимптотой[править | править вики-текст]

Эта площадь равна:


Объём тела вращения[править | править вики-текст]

Объём () тела, образованного при вращении ветви вокруг оси абсцисс, рассчитывается так:

Если , то , то есть .