Рациональный кубоид

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Совершенный кубоид[1] (или целочисленный кирпич) — прямоугольный параллелепипед, у которого все семь основных величин (три ребра, три лицевых диагонали и пространственная диагональ) являются целыми числами. Иначе говоря, совершенный кубоид — целочисленное решение системы диофантовых уравнений

a^2 + b^2 = d^2\,
b^2 + c^2 = e^2\,
a^2 + c^2 = f^2\,
a^2 + b^2 + c^2 = g^2\,

До сих пор неизвестно, существует ли такой параллелепипед. Компьютерный перебор не нашёл ни одного целочисленного кирпича с рёбрами до 3·1012.[2] Впрочем, найдено несколько «почти целочисленных» параллелепипедов, у которых целочисленными являются все величины, кроме одной:

  • (672, 153, 104)\, — одна из лицевых диагоналей нецелая.
  • (18720, \sqrt{211773121}, 7800), (520, 576, \sqrt{618849}) — одно из рёбер нецелое.
  • Большое количество эйлеровых параллелепипедов (с нецелой пространственной диагональю, см. ниже).
  • Косоугольные параллелепипеды, у которых все линейные размеры целые. При этом достаточно одного непрямого угла[3][4][5].

В 2005 году тбилисский школьник Лаша Маргишвили предложил доказательство, что целочисленного кубоида не существует — однако на 2012 год работа так и не прошла проверку независимыми учёными[6][7]. В 2012 году учитель Лаши Маргишвили, директор Грузинско-Американского лицея Мамука Месхешвили опубликовал статью[8] , в которой называет гипотезу о несуществовании совершенных кубоидов недоказанной.

Рациональный кубоид - это почти то же самое, что и совершенный кубоид, только рёбра, диагонали на гранях и пространственная диагональ у него не целые, а рациональные числа. Рациональный кубоид легко превращается в целочисленный путем умножения всех его линейных размеров на одно и то же целое число, поэтому нахождение рационального кубоида равносильно нахождению целочисленного кубоида.

Эйлеров параллелепипед[править | править вики-текст]

Прямоугольный параллелепипед, у которого целочисленные только рёбра и лицевые диагонали, называется эйлеровым. Самый маленький из эйлеровых параллелепипедов — (240, 117, 44), с лицевыми диагоналями 267, 244 и 125. Ещё несколько эйлеровых параллелепипедов:

  • (275, 252, 240),
  • (693, 480, 140),
  • (720, 132, 85),
  • (792, 231, 160).

Эйлер описал два семейства эйлеровых параллелепипедов (отсюда название). Впрочем, полного описания всех эйлеровых параллелепипедов также нет.

Известны такие требования к эйлеровому параллелепипеду (а значит, и к целочисленному кирпичу)[9]:

  • Одно ребро делится на 4, второе делится на 16, третье нечётное (если, конечно, он примитивный — то есть, НОД(a, b,c)=1).
  • Одно ребро делится на 3 и ещё одно — на 9.
  • Одно ребро делится на 5.
  • Одно ребро делится на 11.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Weisstein, Eric W. Perfect Cuboid (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  2. Bill Butler, The “Integer Brick” Problem
  3. J. F. Sawyer, C. A. Reiter, Perfect parallelepipeds exist, Math. Comp. 80(2011), No. 274, P. 1037-1040
  4. B. D. Sokolowsky, A. G. VanHooft, R. M. Volkert, C. A. Reiter, An infinite family of perfect parallelepipeds, Math. Comp. 83(2014), No. 289, P. 2441-2454
  5. W. Wyss, On Perfect Cuboids, arXiv:1506.02215v2 [math.NT] 27 Jun 2015
  6. Lasha Margishvili "The Diophantine Rectangular Parallelepiped (A Perfect Cuboid)": part 1, part 2
  7. Mu Alpha Theta
  8. M. Meskhishvili, Perfect Cuboid and Congruent Number Equation Solutions, arXiv:1211.6548v1 [math.NT] 28 Nov 2012
  9. Primitive Euler Bricks