Решение Казнера

Метрика (решение) Казнера (разработанная американским математиком Эдвардом Казнером в 1921 году и названная в честь) является точным решением уравнений Эйнштейна. Она описывает анизотропную вселенную без материи (т. е. представляет собой вакуумное решение). Её можно записать в любом измерении пространства-времени с размерностью $D>3$, и она тесно связана с изучением гравитационного хаоса.

Метрика и условия

Метрика в измерениях пространства-времени $D>3$ равна

${\text{d}}s^{2}=-{\text{d}}t^{2}+\sum _{j=1}^{D-1}t^{2p_{j}}[{\text{d}}x^{j}]^{2}$,

и содержит константы $p_{j}$ размерности $D-1$, называемые «коээфициенты Казнера». Метрика описывает пространство-время, равные по времени срезы которого пространственно плоские, однако пространство расширяется или сокращается с разной скоростью в разных направлениях, в зависимости от значений $p_{j}$. Тестовые частицы в этой метрике, чья сопутствующая координата отличается на $\Delta x^{j}$, разделены физическим расстоянием $t^{p_{j}}\Delta x^{j}$.

Метрика Казнера является точным решением уравнений Эйнштейна в вакууме, когда показатели Казнера удовлетворяют следующим «условиям Казнера»:

$\sum _{j=1}^{D-1}p_{j}=1,$

$\sum _{j=1}^{D-1}p_{j}^{2}=1.$

Первое условие определяет плоскость, «плоскость Казнера», а второе описывает сферу, «сферу Казнера». Решения (выбор коэффициентов $p_{j}$), удовлетворяющие двум условиям, следовательно, лежат в сфере их пересечения (иногда ее также ошибочно называют сферой Казнера). Таким образом, в измерениях пространства-времени $D$ пространство решений лежит на сфере $S^{D-3}$ размерностью $D-3$.