Рёберно k-связный граф
Рёберно k-связный граф — граф, который остаётся связным после удаления не более чем рёбер.
Часто вместо рёберно k-связный граф, говорят k-связный граф.
Формальное определение[править | править код]
Пусть — любой граф. Если связен для всех при , то называется k-рёберно связен.
Замечания[править | править код]
- Если граф является рёберно k-связным, то он также и рёберно m-связен при всех m < k.
- Связный граф это то же, что и рёберно 1-связный граф.
Свойства[править | править код]
- Минимальная степень вершин рёберно k-связного графа не меньше k.
- Критический граф с хроматическим числом >k является рёберно k-связным.
Вычисление[править | править код]
Существует полиномиальный по времени алгоритм определения наибольшего k, для которого граф G является k-рёберно-связным. В качестве простого алгоритма можно использовать следующий: для любой пары вершин (u, v) определим максимальный поток из u в v с пропускной способностью всех рёбер, равной единице в обоих направлениях. Граф является k-рёберно-связным, тогда и только тогда, когда максимальный поток из u в v не меньше k для любой пары (u, v). Таким образом k является наименьшим u-v-потоком среди всех пар (u, v).
Если n — число вершин в графе, этот простой алгоритм работает за итераций алгоритма максимального потока, который, в свою очередь, решает задачу нахождения потока за время . Таким образом, общая сложность алгоритма равна .
Улучшенный алгоритм решает задачу максимального потока для любой пары (u, v), где u — произвольная фиксированная вершина, а v пробегает все оставшиеся вершины. Этот алгоритм уменьшает сложность до . Если существует разрез размером меньше k, он отделяет u от некоторых других вершин. Можно улучшить алгоритм, если применить алгоритм Габова , работающий за время [1].
Связанная задача, нахождение минимального k-рёберно-связного подграфа графа G (то есть выбрать насколько можно мало рёбер из G, которые образуют k-рёберно-связный подграф) является NP-трудной для [2].
См. также[править | править код]
- Вершинно k-связный граф
- Связный граф
- Препятствущее паросочетанию множество
- Теорема Менгера
- Теорема Роббинса
Примечания[править | править код]
Для улучшения этой статьи желательно:
|