Теория графов

Граф с шестью вершинами и семью рёбрами

Тео́рия гра́фов — раздел дискретной математики, изучающий свойства графов. В общем смысле граф представляется как множество вершин (узлов), соединённых рёбрами. В строгом определении графом называется такая пара множеств. $G = (V, E)$, где $V$ есть подмножество любого счётного множества, а $E$ — подмножество $V \times V$.

Теория графов находит применение, например, в геоинформационных системах (ГИС). Существующие или вновь проектируемые дома, сооружения, кварталы и т. п. рассматриваются как вершины, а соединяющие их дороги, инженерные сети, линии электропередачи и т. п. — как рёбра. Применение различных вычислений, производимых на таком графе, позволяет, например, найти кратчайший объездной путь или ближайший продуктовый магазин, спланировать оптимальный маршрут.

Теория графов содержит большое количество нерешённых проблем и пока не доказанных гипотез.

История возникновения теории графов

Родоначальником теории графов считается Леонард Эйлер. В 1736 году в одном из своих писем он формулирует и предлагает решение задачи о семи кёнигсбергских мостах, ставшей впоследствии одной из классических задач теории графов.

Терминология теории графов

Терминология теории графов поныне не определена строго. В частности в монографии Гудман, Хидетниеми, 1981 сказано: «В программистском мире нет единого мнения о том, какой из двух терминов „граф“ или „сеть“. Мы выбрали термин „сеть“, так как он, по-видимому, чаще встречается в прикладных областях». Аналогичная ситуация с терминами «вершина/точка».

Изображение графов на плоскости

При изображении графов на рисунках чаще всего используется следующая система обозначений: вершины графа изображаются точками или, при конкретизации смысла вершины, прямоугольниками, овалами и др., где внутри фигуры раскрывается смысл вершины (графы блок-схем алгоритмов). Если между вершинами существует ребро, то соответствующие точки (фигуры) соединяются линией или дугой. В случае ориентированного графа дуги заменяют стрелками, или явно указывают направленность ребра. Иногда рядом с ребром размещают поясняющие надписи, раскрывающие смысл ребра, например, в графах переходов конечных автоматов. Различают планарные и непланарные графы. Планарный граф — это граф, который можно изобразить на рисунке (плоскости) без пересечения рёбер (простейшие — треугольник или пара связанных вершин), иначе граф непланарный. В том случае, если граф не содержит циклов (содержащих по крайней мере один путь однократного обхода рёбер и вершин с возвратом в исходную вершину), его принято называть «деревом». Важные виды деревьев в теории графов — бинарные деревья, где каждая вершина имеет одно входящее ребро и ровно два выходящих, или является конечной — не имеющей выходящих рёбер и содержит одну корневую вершину, в которую нет входящего ребра.

Не следует путать изображение графа с собственно графом (абстрактной структурой), поскольку одному графу можно сопоставить не одно графическое представление. Изображение призвано лишь показать, какие пары вершин соединены рёбрами, а какие — нет. Часто на практике бывает трудно ответить на вопрос, являются ли два изображения моделями одного и того же графа или нет (другими словами, изоморфны ли соответствующие изображениям графы). В зависимости от задачи, одни изображения могут давать более наглядную картину, чем другие.

Некоторые задачи теории графов

• Проблема семи мостов Кёнигсберга — один из первых результатов в теории графов, опубликован Эйлером в 1736.
• Проблема четырёх красок — была сформулирована в 1852 году, но неклассическое доказательство получено лишь в 1976 году (достаточно 4-х красок для карты на сфере (плоскости)).
• Задача коммивояжёра — одна из наиболее известных NP-полных задач.
• Задача о клике — ещё одна NP-полная задача.
• Нахождение минимального стягивающего (остовного) дерева.
• Изоморфизм графов — можно ли путем перенумерации вершин одного графа получить другой.
• Планарность графа — можно ли изобразить граф на плоскости без пересечений ребер (или с минимальным числом слоев, что находит применение при трассировке межсоединений элементов печатных плат или микросхем).

К теории графов также относится целый ряд математических проблем, не решенных на сегодняшний день.

Применение теории графов

• В химии (для описания структур, путей сложных реакций, правило фаз также может быть интерпретировано как задача теории графов); компьютерная химия — сравнительно молодая область химии, основанная на применении теории графов. Теория графов представляет собой математическую основу хемоинформатики. Теория графов позволяет точно определить число теоретически возможных изомеров углеводородов и других органических соединений.
• В информатике и программировании (граф-схема алгоритма)
• В коммуникационных и транспортных системах. В частности, для маршрутизации данных в Интернете.
• В экономике
• В логистике
• В схемотехнике (топология межсоединений элементов на печатной плате или микросхеме представляет собой граф или гиперграф).

Литература

• Дистель Р. Теория графов Пер. с англ. - Новосибирск: Издательство института математики, 2002. - 336 с. ISBN 5-86134-101-X.
• Diestel R. Graph Theory, Electronic Edition. — NY: Springer-Verlag, 2005. — С. 422.
• Басакер Р., Саати Т. Конечные графы и сети. М.: Наука, 1974. 368c.
• Белов В. В., Воробьев Е. М., Шаталов В. Е. Теория графов. — М.: Высш. школа, 1976. — С. 392.
• Берж К. Теория графов и ее приложения. М.: ИЛ, 1962. 320c.
• Емеличев В. А., Мельников О. И., Сарванов В. И., Тышкевич Р. И. Лекции по теории графов. М.: Наука, 1990. 384с. (Изд.2, испр. М.: УРСС, 2009. 392 с.)
• Зыков А. А. Основы теории графов. — М.: «Вузовская книга», 2004. — С. 664. — ISBN 5-9502-0057-8.(М.: Наука, 1987. 383c.)

• Химические приложения топологии и теории графов. Под ред. Р. Кинга. Пер. с англ. М.: Мир, 1987.

• Кирсанов М. Н. Графы в Maple. М.: Физматлит, 2007. 168 c. http://vuz.exponenta.ru/PDF/book/GrMaple.pdf http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Kirsanov2007ru.pdf

• Кристофидес Н.Теория графов. Алгоритмический подход. М.: Мир, 1978. 429c.

• Кормен Т. Х. и др. Часть VI. Алгоритмы для работы с графами // Алгоритмы: построение и анализ = Introduction to Algorithms. — 2-е изд. — М.: Вильямс, 2006. — С. 1296. — ISBN 0-07-013151-1.
• Оре О. Теория графов. — 2-е изд. — М.: Наука, 1980. — С. 336.
• Салий В. Н. Богомолов А. М. Алгебраические основы теории дискретных систем. — М.: Физико-математическая литература, 1997. — ISBN 5-02-015033-9.

• Свами М., Тхуласираман К. Графы, сети и алгоритмы. М: Мир, 1984. 455с.

• Татт У. Теория графов. Пер. с англ. М.: Мир, 1988. 424 с.

• Уилсон Р. Введение в теорию графов. Пер с англ. М.: Мир, 1977. 208с.

• Харари Ф. Теория графов. — М.: Мир, 1973. (Изд. 3, М.: КомКнига, 2006. — 296 с.)

• Харари Ф., Палмер Э. Перечисление графов. — Мир, 1977.

• Сергей Мельников Сим и Крэм под «электронным микроскопом» // Наука и жизнь. — 1996. — В. 3. — С. 144-145. В статье идёт речь об игре на графе Сим, придуманной Густавом Симмонсом.

См. также

• Словарь терминов теории графов
• Теоремы теории графов
• Дискретная математика
• Связность графов
• Система графов
• Семиотика структуры
• Игры:
  • Палочки
  • Точки

Ссылки

• Вводные видеолекции по теории графов
• WikiGrapp — толковый словарь по теории графов
• Алгоритмы и краткие описания программ на C++
• Дискретная математика, алгоритмы, апплеты, визулизация графов
• Графы в химии
• Intelligent Graph Visualizer (автоматическое размещение на плоскости, поиск кратчайшего пути, поиск центра и др.)
• Graph Theory Software
• Visual Graph: программа, предоставляющая пользователю, широкий набор средств и методов для визуализации и поиска информации в графах

Разделы математики