Вики-текст новой страницы после правки (new_wikitext) | '
В математике '''''j'' -инвариант''' или '''''j-'' функция''' Феликса Кляйна , рассматриваемая как функция комплексной переменной ''τ'' , представляет собой модульную функцию нулевого веса для SL(2, '''Z''' ) , определенную в верхней полуплоскости комплексных чисел . Это единственная такая функция, голоморфная вдали от простого полюса в точке возврата , такая, что
:
Рациональные функции от ''j'' являются модулярными и фактически дают все модулярные функции. Классически ''j'' -инвариант изучался как параметризация эллиптических кривых над, но он также имеет удивительные связи с симметриями группы Монстров (эту связь называют чудовищным самогоном ).
== Определение [ править ] ==
Дополнительная информация: Эллиптическая кривая § Эллиптические кривые над комплексными числами и модульные формы.
j ''-инвариант'' можно определить как функцию в верхней полуплоскости '''H''' = { ''τ'' ∈ '''C''' , Im ( ''τ'' ) > 0},
:
с третьим определением, подразумевающимможно выразить в виде куба , также с 1728 г..
Данные функции являются модульным дискриминантом , эта-функция Дедекинда и модульные инварианты,
:
:
где,являются рядами Фурье ,
:
и,являются рядами Эйзенштейна ,
:
и(квадрат нома ) . Тогда j -инвариант может быть непосредственно выражен через ряд Эйзенштейна как '':''
:
без числового коэффициента, отличного от 1728. Это подразумевает третий способ определения модульного дискриминанта:
:
Например, используя приведенные выше определения и, то эта-функция Дедекиндаимеет точное значение ,
:
подразумевая трансцендентные числа ,
:
но давая алгебраическое число (на самом деле целое число ),
:
В общем, это можно мотивировать, рассматривая каждое τ как представление класса изоморфизма эллиптических кривых. Каждая эллиптическая кривая ''E'' над '''C''' является комплексным тором и, следовательно, может быть отождествлена с решеткой ранга 2; то есть двумерная решетка '''C''' . Эту решетку можно вращать и масштабировать (операции, сохраняющие класс изоморфизма), так что она порождается 1 и ''τ'' ∈ '''H''' . Эта решетка соответствует эллиптической кривой(см. эллиптические функции Вейерштрасса ).
Обратите внимание, что ''j'' определен всюду в '''H''' , поскольку модульный дискриминант не равен нулю. Это связано с тем, что соответствующий кубический многочлен имеет разные корни.
== Фундаментальная область [ править ] ==
Можно показать, что Δ — модульная форма с весом двенадцать, а ''g'' <sub>2</sub> — с весом четыре, так что его третья степень также имеет вес двенадцать. Таким образом, их фактор, а, следовательно, и ''j'' , является модулярной функцией нулевого веса, в частности, голоморфной функцией '''H''' → '''C''' , инвариантной относительно действия SL(2, '''Z''' ) . Факторизация по ее центру {±I} дает модулярную группу , которую мы можем отождествить с проективной специальной линейной группой PSL(2, '''Z''' ) .
Подходящим выбором преобразований, принадлежащих к этой группе,
:
мы можем уменьшить ''τ'' до значения, дающего то же значение для ''j'' и лежащего в фундаментальной области для ''j'' , которая состоит из значений ''τ'' , удовлетворяющих условиям
:
Функция ''j'' ( ''τ'' ) , ограниченная этой областью, по-прежнему принимает каждое значение комплексных чисел '''C''' ровно один раз. Другими словами, для каждого ''c'' в '''C''' существует уникальное τ в фундаментальной области такое, что ''c'' = ''j'' ( ''τ'' ) . Таким образом, ''j'' обладает свойством отображать фундаментальную область на всю комплексную плоскость.
Кроме того, два значения τ,τ' ∈ '''H''' образуют одну и ту же эллиптическую кривую тогда и только тогда, когда τ = T(τ') для некоторого T ∈ PSL(2, '''Z''' ) . Это означает, что ''j'' обеспечивает биекцию множества эллиптических кривых над '''C''' на комплексную плоскость.
Как риманова поверхность , фундаментальная область имеет род 0 , и каждая модулярная функция ( первого уровня ) является рациональной функцией от ''j'' ; и, наоборот, каждая рациональная функция от ''j'' является модулярной функцией. Другими словами, поле модулярных функций — это '''C''' ( ''j'' ) .
== Теория полей классов и ''j'' [ править ] ==
j -инвариант обладает множеством замечательных свойств '':''
* Если ''τ'' — любая точка верхней полуплоскости, соответствующая эллиптическая кривая которой имеет комплексное умножение (то есть, если ''τ'' — любой элемент мнимого квадратичного поля с положительной мнимой частью, так что ''j'' определен), то ''j'' ( ''τ'' ) является алгебраическое целое число . Эти специальные значения называются сингулярными модулями .
* Расширение поля '''Q''' [ ''j'' ( ''τ'' ), ''τ'' ]/ '''Q''' ( ''τ'' ) является абелевым, т. е. имеет абелеву группу Галуа .
* Пусть Λ — решетка в '''C''' , порожденная {1, ''τ'' }. Легко видеть, что все элементы '''Q''' ( ''τ'' ) , фиксирующие Λ при умножении, образуют кольцо с единицами, называемое порядком . Остальные решетки с образующими {1, ''τ }'' , связанные аналогичным образом с тем же порядком, определяют алгебраические сопряжения ''j'' ( ''τ )'' к ''j'' ( ''τ'' ) над '''Q''' ( ''τ'' ) . Упорядоченный по включению, единственный максимальный порядок в '''Q''' ( ''τ'' ) представляет собой кольцо целых алгебраических чисел '''Q''' ( ''τ'' ) , и значения ''τ'' , имеющие его в качестве ассоциированного порядка, приводят к неразветвленным расширениям '''Q''' ( ''τ'' ) .
Эти классические результаты являются отправной точкой теории комплексного умножения .
== Свойства трансцендентности [ править ] ==
В 1937 году Теодор Шнайдер доказал вышеупомянутый результат: если ''τ'' — квадратичное иррациональное число в верхней полуплоскости, то ''j'' ( ''τ'' ) — целое алгебраическое число. Кроме того, он доказал, что если ''τ'' — алгебраическое число , а не мнимое квадратичное, то ''j'' ( ''τ'' ) трансцендентно.
Функция ''j'' обладает множеством других трансцендентных свойств. Курт Малер выдвинул особую гипотезу о трансцендентности, которую часто называют гипотезой Малера, хотя она была доказана как следствие результатов Ю. В. Нестеренко и Патрис Филлипон в 1990-е годы. Гипотеза Малера заключалась в том, что если ''τ'' находится в верхней полуплоскости, то ''e'' <sup>2π ''iτ''</sup> и ''j'' ( ''τ'' ) никогда не были одновременно алгебраическими. Теперь известны более сильные результаты, например, если ''e'' <sup>2π ''iτ''</sup> алгебраическое, то следующие три числа алгебраически независимы и, следовательно, по крайней мере два из них трансцендентны:
:
== Q ''-'' расширение и самогон [ править ] ==
Несколько замечательных свойств ''j'' связаны с его ''q'' -разложением ( разложением в ряд Фурье ), записанным в виде ряда Лорана через ''q'' = ''e'' <sup>2π ''iτ''</sup> , которое начинается:
:
Обратите внимание, что ''j'' имеет простой полюс на вершине, поэтому в его ''q'' -разложении нет членов ниже ''q'' <sup>−1</sup> .
Все коэффициенты Фурье являются целыми числами, в результате чего получается несколько почти целых чисел , в частности константа Рамануджана :
: .
Асимптотическая формула для коэффициента при ''q <sup>n</sup>'' имеет вид
: ,
что можно доказать с помощью метода круга Харди – Литтлвуда .
=== Самогон [ править ] ===
Еще более примечательно то, что коэффициенты Фурье для положительных показателей ''q'' — это размерности градуированной части бесконечномерного градуированного алгебраического представления группы монстров , называемого ''модулем самогона'' . В частности, коэффициент ''q <sup>n</sup>'' — это размерность градуированной алгебры ''.'' часть самогонного модуля, первым примером является ''алгебра'' Грисса , имеющая размерность 196884, что соответствует терму 196884q . Это поразительное наблюдение, впервые сделанное Джоном Маккеем , стало отправной точкой для теории самогона .
Изучение гипотезы самогона привело Джона Хортона Конвея и Саймона П. Нортона к рассмотрению модульных функций нулевого рода. Если они нормализованы и имеют вид
:
затем Джон Г. Томпсон показал, что существует только конечное число таких функций (некоторого конечного уровня), а Крис Дж. Камминс позже показал, что их ровно 6486, 616 из которых имеют целые коэффициенты.
== Альтернативные выражения [ править ] ==
У нас есть
:
где ''x'' = ''λ'' (1 − ''λ'' ) , а ''λ'' — модулярная лямбда-функция
:
отношение тэта-функций Якоби ''θm ,'' а – квадрат эллиптического модуля ''k <sub>(</sub>'' τ ) . Значение ''j'' не меняется, когда ''λ'' заменяется любым из шести значений перекрестного отношения :
:
Точки ветвления ''j'' находятся в точках {0, 1, ∞} , так что ''j'' — функция Белого .
== Выражения через тэта-функции [ править ] ==
Определим ном ''q'' = ''e'' <sup>π ''iτ''</sup> и тэта-функцию Якоби ,
:
из которого можно вывести вспомогательные тета-функции, определенные здесь . Позволять,
:
где ''ϑ <sub>ij</sub>'' и ''θ <sub>n</sub>'' — альтернативные обозначения, а ''a'' <sup>4</sup> − ''b'' <sup>4</sup> + ''c'' <sup>4</sup> = 0 . Тогда мы имеем для модулярных инвариантов ''g'' <sub>2</sub> , ''g'' <sub>3</sub> ,
:
и модульный дискриминант,
:
с эта-функцией Дедекинда ''η'' ( ''τ'' ) . Затем j ( ''τ'' ) можно быстро вычислить '':''
:
== Алгебраическое определение [ править ] ==
До сих пор мы рассматривали ''j'' как функцию комплексной переменной. Однако как инвариант классов изоморфизма эллиптических кривых его можно определить чисто алгебраически. Пусть
:
— плоская эллиптическая кривая ''над любым полем'' . Затем мы можем выполнить последовательные преобразования, чтобы привести приведенное выше уравнение к стандартной форме ''y'' <sup>2</sup> = 4 ''x'' <sup>3</sup> − ''g'' <sub>2</sub> ''x'' − ''g'' <sub>3</sub> (обратите внимание, что это преобразование можно выполнить только тогда, когда характеристика поля не равна 2 или 3 ). Итоговые коэффициенты:
:
где ''г'' <sub>2</sub> знак равно ''c'' <sub>4</sub> и ''г'' <sub>3</sub> знак равно ''c'' <sub>6</sub> . У нас также есть дискриминант
:
j ''-инвариант'' эллиптической кривой теперь можно определить как
:
В случае, когда поле, над которым определяется кривая, имеет характеристику, отличную от 2 или 3, это равно
:
== Обратная функция [ править ] ==
Обратная функция ''j'' - инварианта может быть выражена через гипергеометрическую функцию <sub>2</sub> ''F'' <sub>1</sub> (см. также статью Уравнение Пикара–Фукса ). Явно, учитывая число ''N'' , решить уравнение ''j'' ( ''τ'' ) = ''N'' для ''τ'' можно как минимум четырьмя способами.
'''Метод 1''' : Решение секстика в ''λ'' ,
:
где ''x'' = ''λ'' (1 − ''λ'' ) , а ''λ'' — модульная лямбда-функция , поэтому секстику можно решить как кубику от ''x'' . Затем,
:
для любого из шести значений ''λ'' , где M — среднее арифметико-геометрическое .
'''Метод 2''' : Решение квартики в ''γ'' ,
:
тогда для любого из четырех корней
:
'''Метод 3''' : Решение кубики в ''β'' ,
:
тогда для любого из трех корней
:
'''Метод 4.''' Решение квадратичного уравнения по ''α'' .
:
затем,
:
Один корень дает ''τ'' , а другой —1/''τ'', но поскольку ''j'' ( ''τ'' ) = ''j'' (−1/''τ'') , то не имеет значения, какой ''α'' выбран. Последние три метода можно найти в теории эллиптических функций Рамануджана с альтернативными базисами.
Инверсия применяется при высокоточном вычислении периодов эллиптических функций, даже если их отношения становятся неограниченными. <sup>[ ''нужна цитация'' ]</sup> Сопутствующим результатом является выразимость через квадратичные радикалы значений ''j'' в точках мнимой оси, величины которых являются степенями 2 (что позволяет строить компас и линейку ). Последний результат едва ли очевиден, поскольку модулярное уравнение для ''j'' порядка 2 является кубическим.
== Формулы Пи [ править ] ==
Братья Чудновские нашли в 1987 году
:
доказательство которого использует тот факт, что
:
Подобные формулы см. в серии Рамануджана-Сато .
== Специальные значения [ править ] ==
j ''-'' инвариант исчезает в «угле» фундаментальной области :
:
Вот еще несколько специальных значений <sup>, ''заданных'' в</sup> альтернативных обозначениях ''J'' ( ''τ'' ) ≡1/1728 г. ''j'' ( ''τ'' ) , первые пять хорошо известны:
:
== Неспособность классифицировать эллиптические кривые по другим полям [ править ] ==
The -инвариант чувствителен только к классам изоморфизма эллиптических кривых над комплексными числами или, в более общем смысле, к алгебраически замкнутому полю . Над другими полями существуют примеры эллиптических кривых, у которых-инварианты одинаковы, но неизоморфны. Например, пусть— эллиптические кривые, соответствующие полиномам<blockquote></blockquote>оба имеют-инвариант. Тогда рациональные точкиможно вычислить как:<blockquote></blockquote>сРациональных решений не существует. Это можно показать с помощью формулы Кардано , чтобы показать, что в этом случае решения задачивсе иррациональны. С другой стороны, на множестве точек<blockquote></blockquote>уравнение длястановится. Деление наустранитьрешения квадратичная формула дает рациональные решения:<blockquote></blockquote>Если рассматривать эти кривые, существует изоморфизмотправка<blockquote></blockquote>' |
Унифицированная разница изменений правки (edit_diff) | '@@ -1,0 +1,232 @@
+
+В математике '''''j'' -инвариант''' или '''''j-'' функция''' Феликса Кляйна , рассматриваемая как функция комплексной переменной ''τ'' , представляет собой модульную функцию нулевого веса для SL(2, '''Z''' ) , определенную в верхней полуплоскости комплексных чисел . Это единственная такая функция, голоморфная вдали от простого полюса в точке возврата , такая, что
+
+:
+
+Рациональные функции от ''j'' являются модулярными и фактически дают все модулярные функции. Классически ''j'' -инвариант изучался как параметризация эллиптических кривых над, но он также имеет удивительные связи с симметриями группы Монстров (эту связь называют чудовищным самогоном ).
+
+== Определение [ править ] ==
+Дополнительная информация: Эллиптическая кривая § Эллиптические кривые над комплексными числами и модульные формы.
+
+j ''-инвариант'' можно определить как функцию в верхней полуплоскости '''H''' = { ''τ'' ∈ '''C''' , Im ( ''τ'' ) > 0},
+
+:
+
+с третьим определением, подразумевающимможно выразить в виде куба , также с 1728 г..
+
+Данные функции являются модульным дискриминантом , эта-функция Дедекинда и модульные инварианты,
+
+:
+:
+
+где,являются рядами Фурье ,
+
+:
+
+и,являются рядами Эйзенштейна ,
+
+:
+
+и(квадрат нома ) . Тогда j -инвариант может быть непосредственно выражен через ряд Эйзенштейна как '':''
+
+:
+
+без числового коэффициента, отличного от 1728. Это подразумевает третий способ определения модульного дискриминанта:
+
+:
+
+Например, используя приведенные выше определения и, то эта-функция Дедекиндаимеет точное значение ,
+
+:
+
+подразумевая трансцендентные числа ,
+
+:
+
+но давая алгебраическое число (на самом деле целое число ),
+
+:
+
+В общем, это можно мотивировать, рассматривая каждое τ как представление класса изоморфизма эллиптических кривых. Каждая эллиптическая кривая ''E'' над '''C''' является комплексным тором и, следовательно, может быть отождествлена с решеткой ранга 2; то есть двумерная решетка '''C''' . Эту решетку можно вращать и масштабировать (операции, сохраняющие класс изоморфизма), так что она порождается 1 и ''τ'' ∈ '''H''' . Эта решетка соответствует эллиптической кривой(см. эллиптические функции Вейерштрасса ).
+
+Обратите внимание, что ''j'' определен всюду в '''H''' , поскольку модульный дискриминант не равен нулю. Это связано с тем, что соответствующий кубический многочлен имеет разные корни.
+
+== Фундаментальная область [ править ] ==
+Можно показать, что Δ — модульная форма с весом двенадцать, а ''g'' <sub>2</sub> — с весом четыре, так что его третья степень также имеет вес двенадцать. Таким образом, их фактор, а, следовательно, и ''j'' , является модулярной функцией нулевого веса, в частности, голоморфной функцией '''H''' → '''C''' , инвариантной относительно действия SL(2, '''Z''' ) . Факторизация по ее центру {±I} дает модулярную группу , которую мы можем отождествить с проективной специальной линейной группой PSL(2, '''Z''' ) .
+
+Подходящим выбором преобразований, принадлежащих к этой группе,
+
+:
+
+мы можем уменьшить ''τ'' до значения, дающего то же значение для ''j'' и лежащего в фундаментальной области для ''j'' , которая состоит из значений ''τ'' , удовлетворяющих условиям
+
+:
+
+Функция ''j'' ( ''τ'' ) , ограниченная этой областью, по-прежнему принимает каждое значение комплексных чисел '''C''' ровно один раз. Другими словами, для каждого ''c'' в '''C''' существует уникальное τ в фундаментальной области такое, что ''c'' = ''j'' ( ''τ'' ) . Таким образом, ''j'' обладает свойством отображать фундаментальную область на всю комплексную плоскость.
+
+Кроме того, два значения τ,τ' ∈ '''H''' образуют одну и ту же эллиптическую кривую тогда и только тогда, когда τ = T(τ') для некоторого T ∈ PSL(2, '''Z''' ) . Это означает, что ''j'' обеспечивает биекцию множества эллиптических кривых над '''C''' на комплексную плоскость.
+
+Как риманова поверхность , фундаментальная область имеет род 0 , и каждая модулярная функция ( первого уровня ) является рациональной функцией от ''j'' ; и, наоборот, каждая рациональная функция от ''j'' является модулярной функцией. Другими словами, поле модулярных функций — это '''C''' ( ''j'' ) .
+
+== Теория полей классов и ''j'' [ править ] ==
+j -инвариант обладает множеством замечательных свойств '':''
+
+* Если ''τ'' — любая точка верхней полуплоскости, соответствующая эллиптическая кривая которой имеет комплексное умножение (то есть, если ''τ'' — любой элемент мнимого квадратичного поля с положительной мнимой частью, так что ''j'' определен), то ''j'' ( ''τ'' ) является алгебраическое целое число . Эти специальные значения называются сингулярными модулями .
+* Расширение поля '''Q''' [ ''j'' ( ''τ'' ), ''τ'' ]/ '''Q''' ( ''τ'' ) является абелевым, т. е. имеет абелеву группу Галуа .
+* Пусть Λ — решетка в '''C''' , порожденная {1, ''τ'' }. Легко видеть, что все элементы '''Q''' ( ''τ'' ) , фиксирующие Λ при умножении, образуют кольцо с единицами, называемое порядком . Остальные решетки с образующими {1, ''τ }'' , связанные аналогичным образом с тем же порядком, определяют алгебраические сопряжения ''j'' ( ''τ )'' к ''j'' ( ''τ'' ) над '''Q''' ( ''τ'' ) . Упорядоченный по включению, единственный максимальный порядок в '''Q''' ( ''τ'' ) представляет собой кольцо целых алгебраических чисел '''Q''' ( ''τ'' ) , и значения ''τ'' , имеющие его в качестве ассоциированного порядка, приводят к неразветвленным расширениям '''Q''' ( ''τ'' ) .
+
+Эти классические результаты являются отправной точкой теории комплексного умножения .
+
+== Свойства трансцендентности [ править ] ==
+В 1937 году Теодор Шнайдер доказал вышеупомянутый результат: если ''τ'' — квадратичное иррациональное число в верхней полуплоскости, то ''j'' ( ''τ'' ) — целое алгебраическое число. Кроме того, он доказал, что если ''τ'' — алгебраическое число , а не мнимое квадратичное, то ''j'' ( ''τ'' ) трансцендентно.
+
+Функция ''j'' обладает множеством других трансцендентных свойств. Курт Малер выдвинул особую гипотезу о трансцендентности, которую часто называют гипотезой Малера, хотя она была доказана как следствие результатов Ю. В. Нестеренко и Патрис Филлипон в 1990-е годы. Гипотеза Малера заключалась в том, что если ''τ'' находится в верхней полуплоскости, то ''e'' <sup>2π ''iτ''</sup> и ''j'' ( ''τ'' ) никогда не были одновременно алгебраическими. Теперь известны более сильные результаты, например, если ''e'' <sup>2π ''iτ''</sup> алгебраическое, то следующие три числа алгебраически независимы и, следовательно, по крайней мере два из них трансцендентны:
+
+:
+
+== Q ''-'' расширение и самогон [ править ] ==
+Несколько замечательных свойств ''j'' связаны с его ''q'' -разложением ( разложением в ряд Фурье ), записанным в виде ряда Лорана через ''q'' = ''e'' <sup>2π ''iτ''</sup> , которое начинается:
+
+:
+
+Обратите внимание, что ''j'' имеет простой полюс на вершине, поэтому в его ''q'' -разложении нет членов ниже ''q'' <sup>−1</sup> .
+
+Все коэффициенты Фурье являются целыми числами, в результате чего получается несколько почти целых чисел , в частности константа Рамануджана :
+
+: .
+
+Асимптотическая формула для коэффициента при ''q <sup>n</sup>'' имеет вид
+
+: ,
+
+что можно доказать с помощью метода круга Харди – Литтлвуда .
+
+=== Самогон [ править ] ===
+Еще более примечательно то, что коэффициенты Фурье для положительных показателей ''q'' — это размерности градуированной части бесконечномерного градуированного алгебраического представления группы монстров , называемого ''модулем самогона'' . В частности, коэффициент ''q <sup>n</sup>'' — это размерность градуированной алгебры ''.'' часть самогонного модуля, первым примером является ''алгебра'' Грисса , имеющая размерность 196884, что соответствует терму 196884q . Это поразительное наблюдение, впервые сделанное Джоном Маккеем , стало отправной точкой для теории самогона .
+
+Изучение гипотезы самогона привело Джона Хортона Конвея и Саймона П. Нортона к рассмотрению модульных функций нулевого рода. Если они нормализованы и имеют вид
+
+:
+
+затем Джон Г. Томпсон показал, что существует только конечное число таких функций (некоторого конечного уровня), а Крис Дж. Камминс позже показал, что их ровно 6486, 616 из которых имеют целые коэффициенты.
+
+== Альтернативные выражения [ править ] ==
+У нас есть
+
+:
+
+где ''x'' = ''λ'' (1 − ''λ'' ) , а ''λ'' — модулярная лямбда-функция
+
+:
+
+отношение тэта-функций Якоби ''θm ,'' а – квадрат эллиптического модуля ''k <sub>(</sub>'' τ ) . Значение ''j'' не меняется, когда ''λ'' заменяется любым из шести значений перекрестного отношения :
+
+:
+
+Точки ветвления ''j'' находятся в точках {0, 1, ∞} , так что ''j'' — функция Белого .
+
+== Выражения через тэта-функции [ править ] ==
+Определим ном ''q'' = ''e'' <sup>π ''iτ''</sup> и тэта-функцию Якоби ,
+
+:
+
+из которого можно вывести вспомогательные тета-функции, определенные здесь . Позволять,
+
+:
+
+где ''ϑ <sub>ij</sub>'' и ''θ <sub>n</sub>'' — альтернативные обозначения, а ''a'' <sup>4</sup> − ''b'' <sup>4</sup> + ''c'' <sup>4</sup> = 0 . Тогда мы имеем для модулярных инвариантов ''g'' <sub>2</sub> , ''g'' <sub>3</sub> ,
+
+:
+
+и модульный дискриминант,
+
+:
+
+с эта-функцией Дедекинда ''η'' ( ''τ'' ) . Затем j ( ''τ'' ) можно быстро вычислить '':''
+
+:
+
+== Алгебраическое определение [ править ] ==
+До сих пор мы рассматривали ''j'' как функцию комплексной переменной. Однако как инвариант классов изоморфизма эллиптических кривых его можно определить чисто алгебраически. Пусть
+
+:
+
+— плоская эллиптическая кривая ''над любым полем'' . Затем мы можем выполнить последовательные преобразования, чтобы привести приведенное выше уравнение к стандартной форме ''y'' <sup>2</sup> = 4 ''x'' <sup>3</sup> − ''g'' <sub>2</sub> ''x'' − ''g'' <sub>3</sub> (обратите внимание, что это преобразование можно выполнить только тогда, когда характеристика поля не равна 2 или 3 ). Итоговые коэффициенты:
+
+:
+
+где ''г'' <sub>2</sub> знак равно ''c'' <sub>4</sub> и ''г'' <sub>3</sub> знак равно ''c'' <sub>6</sub> . У нас также есть дискриминант
+
+:
+
+j ''-инвариант'' эллиптической кривой теперь можно определить как
+
+:
+
+В случае, когда поле, над которым определяется кривая, имеет характеристику, отличную от 2 или 3, это равно
+
+:
+
+== Обратная функция [ править ] ==
+Обратная функция ''j'' - инварианта может быть выражена через гипергеометрическую функцию <sub>2</sub> ''F'' <sub>1</sub> (см. также статью Уравнение Пикара–Фукса ). Явно, учитывая число ''N'' , решить уравнение ''j'' ( ''τ'' ) = ''N'' для ''τ'' можно как минимум четырьмя способами.
+
+'''Метод 1''' : Решение секстика в ''λ'' ,
+
+:
+
+где ''x'' = ''λ'' (1 − ''λ'' ) , а ''λ'' — модульная лямбда-функция , поэтому секстику можно решить как кубику от ''x'' . Затем,
+
+:
+
+для любого из шести значений ''λ'' , где M — среднее арифметико-геометрическое .
+
+'''Метод 2''' : Решение квартики в ''γ'' ,
+
+:
+
+тогда для любого из четырех корней
+
+:
+
+'''Метод 3''' : Решение кубики в ''β'' ,
+
+:
+
+тогда для любого из трех корней
+
+:
+
+'''Метод 4.''' Решение квадратичного уравнения по ''α'' .
+
+:
+
+затем,
+
+:
+
+Один корень дает ''τ'' , а другой —1/''τ'', но поскольку ''j'' ( ''τ'' ) = ''j'' (−1/''τ'') , то не имеет значения, какой ''α'' выбран. Последние три метода можно найти в теории эллиптических функций Рамануджана с альтернативными базисами.
+
+Инверсия применяется при высокоточном вычислении периодов эллиптических функций, даже если их отношения становятся неограниченными. <sup>[ ''нужна цитация'' ]</sup> Сопутствующим результатом является выразимость через квадратичные радикалы значений ''j'' в точках мнимой оси, величины которых являются степенями 2 (что позволяет строить компас и линейку ). Последний результат едва ли очевиден, поскольку модулярное уравнение для ''j'' порядка 2 является кубическим.
+
+== Формулы Пи [ править ] ==
+Братья Чудновские нашли в 1987 году
+
+:
+
+доказательство которого использует тот факт, что
+
+:
+
+Подобные формулы см. в серии Рамануджана-Сато .
+
+== Специальные значения [ править ] ==
+j ''-'' инвариант исчезает в «угле» фундаментальной области :
+
+:
+
+Вот еще несколько специальных значений <sup>, ''заданных'' в</sup> альтернативных обозначениях ''J'' ( ''τ'' ) ≡1/1728 г. ''j'' ( ''τ'' ) , первые пять хорошо известны:
+
+:
+
+== Неспособность классифицировать эллиптические кривые по другим полям [ править ] ==
+The -инвариант чувствителен только к классам изоморфизма эллиптических кривых над комплексными числами или, в более общем смысле, к алгебраически замкнутому полю . Над другими полями существуют примеры эллиптических кривых, у которых-инварианты одинаковы, но неизоморфны. Например, пусть— эллиптические кривые, соответствующие полиномам<blockquote></blockquote>оба имеют-инвариант. Тогда рациональные точкиможно вычислить как:<blockquote></blockquote>сРациональных решений не существует. Это можно показать с помощью формулы Кардано , чтобы показать, что в этом случае решения задачивсе иррациональны. С другой стороны, на множестве точек<blockquote></blockquote>уравнение длястановится. Деление наустранитьрешения квадратичная формула дает рациональные решения:<blockquote></blockquote>Если рассматривать эти кривые, существует изоморфизмотправка<blockquote></blockquote>
' |
Добавленные в правке строки (added_lines) | [
0 => '',
1 => 'В математике '''''j'' -инвариант''' или '''''j-'' функция''' Феликса Кляйна , рассматриваемая как функция комплексной переменной ''τ'' , представляет собой модульную функцию нулевого веса для SL(2, '''Z''' ) , определенную в верхней полуплоскости комплексных чисел . Это единственная такая функция, голоморфная вдали от простого полюса в точке возврата , такая, что ',
2 => '',
3 => ':',
4 => '',
5 => 'Рациональные функции от ''j'' являются модулярными и фактически дают все модулярные функции. Классически ''j'' -инвариант изучался как параметризация эллиптических кривых над, но он также имеет удивительные связи с симметриями группы Монстров (эту связь называют чудовищным самогоном ).',
6 => '',
7 => '== Определение [ править ] ==',
8 => 'Дополнительная информация: Эллиптическая кривая § Эллиптические кривые над комплексными числами и модульные формы.',
9 => '',
10 => 'j ''-инвариант'' можно определить как функцию в верхней полуплоскости '''H''' = { ''τ'' ∈ '''C''' , Im ( ''τ'' ) > 0},',
11 => '',
12 => ':',
13 => '',
14 => 'с третьим определением, подразумевающимможно выразить в виде куба , также с 1728 г..',
15 => '',
16 => 'Данные функции являются модульным дискриминантом , эта-функция Дедекинда и модульные инварианты,',
17 => '',
18 => ':',
19 => ':',
20 => '',
21 => 'где,являются рядами Фурье ,',
22 => '',
23 => ':',
24 => '',
25 => 'и,являются рядами Эйзенштейна ,',
26 => '',
27 => ':',
28 => '',
29 => 'и(квадрат нома ) . Тогда j -инвариант может быть непосредственно выражен через ряд Эйзенштейна как '':''',
30 => '',
31 => ':',
32 => '',
33 => 'без числового коэффициента, отличного от 1728. Это подразумевает третий способ определения модульного дискриминанта: ',
34 => '',
35 => ':',
36 => '',
37 => 'Например, используя приведенные выше определения и, то эта-функция Дедекиндаимеет точное значение ,',
38 => '',
39 => ':',
40 => '',
41 => 'подразумевая трансцендентные числа ,',
42 => '',
43 => ':',
44 => '',
45 => 'но давая алгебраическое число (на самом деле целое число ),',
46 => '',
47 => ':',
48 => '',
49 => 'В общем, это можно мотивировать, рассматривая каждое τ как представление класса изоморфизма эллиптических кривых. Каждая эллиптическая кривая ''E'' над '''C''' является комплексным тором и, следовательно, может быть отождествлена с решеткой ранга 2; то есть двумерная решетка '''C''' . Эту решетку можно вращать и масштабировать (операции, сохраняющие класс изоморфизма), так что она порождается 1 и ''τ'' ∈ '''H''' . Эта решетка соответствует эллиптической кривой(см. эллиптические функции Вейерштрасса ).',
50 => '',
51 => 'Обратите внимание, что ''j'' определен всюду в '''H''' , поскольку модульный дискриминант не равен нулю. Это связано с тем, что соответствующий кубический многочлен имеет разные корни.',
52 => '',
53 => '== Фундаментальная область [ править ] ==',
54 => 'Можно показать, что Δ — модульная форма с весом двенадцать, а ''g'' <sub>2</sub> — с весом четыре, так что его третья степень также имеет вес двенадцать. Таким образом, их фактор, а, следовательно, и ''j'' , является модулярной функцией нулевого веса, в частности, голоморфной функцией '''H''' → '''C''' , инвариантной относительно действия SL(2, '''Z''' ) . Факторизация по ее центру {±I} дает модулярную группу , которую мы можем отождествить с проективной специальной линейной группой PSL(2, '''Z''' ) .',
55 => '',
56 => 'Подходящим выбором преобразований, принадлежащих к этой группе,',
57 => '',
58 => ':',
59 => '',
60 => 'мы можем уменьшить ''τ'' до значения, дающего то же значение для ''j'' и лежащего в фундаментальной области для ''j'' , которая состоит из значений ''τ'' , удовлетворяющих условиям',
61 => '',
62 => ':',
63 => '',
64 => 'Функция ''j'' ( ''τ'' ) , ограниченная этой областью, по-прежнему принимает каждое значение комплексных чисел '''C''' ровно один раз. Другими словами, для каждого ''c'' в '''C''' существует уникальное τ в фундаментальной области такое, что ''c'' = ''j'' ( ''τ'' ) . Таким образом, ''j'' обладает свойством отображать фундаментальную область на всю комплексную плоскость.',
65 => '',
66 => 'Кроме того, два значения τ,τ' ∈ '''H''' образуют одну и ту же эллиптическую кривую тогда и только тогда, когда τ = T(τ') для некоторого T ∈ PSL(2, '''Z''' ) . Это означает, что ''j'' обеспечивает биекцию множества эллиптических кривых над '''C''' на комплексную плоскость. ',
67 => '',
68 => 'Как риманова поверхность , фундаментальная область имеет род 0 , и каждая модулярная функция ( первого уровня ) является рациональной функцией от ''j'' ; и, наоборот, каждая рациональная функция от ''j'' является модулярной функцией. Другими словами, поле модулярных функций — это '''C''' ( ''j'' ) .',
69 => '',
70 => '== Теория полей классов и ''j'' [ править ] ==',
71 => 'j -инвариант обладает множеством замечательных свойств '':''',
72 => '',
73 => '* Если ''τ'' — любая точка верхней полуплоскости, соответствующая эллиптическая кривая которой имеет комплексное умножение (то есть, если ''τ'' — любой элемент мнимого квадратичного поля с положительной мнимой частью, так что ''j'' определен), то ''j'' ( ''τ'' ) является алгебраическое целое число . Эти специальные значения называются сингулярными модулями .',
74 => '* Расширение поля '''Q''' [ ''j'' ( ''τ'' ), ''τ'' ]/ '''Q''' ( ''τ'' ) является абелевым, т. е. имеет абелеву группу Галуа .',
75 => '* Пусть Λ — решетка в '''C''' , порожденная {1, ''τ'' }. Легко видеть, что все элементы '''Q''' ( ''τ'' ) , фиксирующие Λ при умножении, образуют кольцо с единицами, называемое порядком . Остальные решетки с образующими {1, ''τ }'' , связанные аналогичным образом с тем же порядком, определяют алгебраические сопряжения ''j'' ( ''τ )'' к ''j'' ( ''τ'' ) над '''Q''' ( ''τ'' ) . Упорядоченный по включению, единственный максимальный порядок в '''Q''' ( ''τ'' ) представляет собой кольцо целых алгебраических чисел '''Q''' ( ''τ'' ) , и значения ''τ'' , имеющие его в качестве ассоциированного порядка, приводят к неразветвленным расширениям '''Q''' ( ''τ'' ) .',
76 => '',
77 => 'Эти классические результаты являются отправной точкой теории комплексного умножения .',
78 => '',
79 => '== Свойства трансцендентности [ править ] ==',
80 => 'В 1937 году Теодор Шнайдер доказал вышеупомянутый результат: если ''τ'' — квадратичное иррациональное число в верхней полуплоскости, то ''j'' ( ''τ'' ) — целое алгебраическое число. Кроме того, он доказал, что если ''τ'' — алгебраическое число , а не мнимое квадратичное, то ''j'' ( ''τ'' ) трансцендентно.',
81 => '',
82 => 'Функция ''j'' обладает множеством других трансцендентных свойств. Курт Малер выдвинул особую гипотезу о трансцендентности, которую часто называют гипотезой Малера, хотя она была доказана как следствие результатов Ю. В. Нестеренко и Патрис Филлипон в 1990-е годы. Гипотеза Малера заключалась в том, что если ''τ'' находится в верхней полуплоскости, то ''e'' <sup>2π ''iτ''</sup> и ''j'' ( ''τ'' ) никогда не были одновременно алгебраическими. Теперь известны более сильные результаты, например, если ''e'' <sup>2π ''iτ''</sup> алгебраическое, то следующие три числа алгебраически независимы и, следовательно, по крайней мере два из них трансцендентны:',
83 => '',
84 => ':',
85 => '',
86 => '== Q ''-'' расширение и самогон [ править ] ==',
87 => 'Несколько замечательных свойств ''j'' связаны с его ''q'' -разложением ( разложением в ряд Фурье ), записанным в виде ряда Лорана через ''q'' = ''e'' <sup>2π ''iτ''</sup> , которое начинается:',
88 => '',
89 => ':',
90 => '',
91 => 'Обратите внимание, что ''j'' имеет простой полюс на вершине, поэтому в его ''q'' -разложении нет членов ниже ''q'' <sup>−1</sup> .',
92 => '',
93 => 'Все коэффициенты Фурье являются целыми числами, в результате чего получается несколько почти целых чисел , в частности константа Рамануджана :',
94 => '',
95 => ': .',
96 => '',
97 => 'Асимптотическая формула для коэффициента при ''q <sup>n</sup>'' имеет вид',
98 => '',
99 => ': ,',
100 => '',
101 => 'что можно доказать с помощью метода круга Харди – Литтлвуда . ',
102 => '',
103 => '=== Самогон [ править ] ===',
104 => 'Еще более примечательно то, что коэффициенты Фурье для положительных показателей ''q'' — это размерности градуированной части бесконечномерного градуированного алгебраического представления группы монстров , называемого ''модулем самогона'' . В частности, коэффициент ''q <sup>n</sup>'' — это размерность градуированной алгебры ''.'' часть самогонного модуля, первым примером является ''алгебра'' Грисса , имеющая размерность 196884, что соответствует терму 196884q . Это поразительное наблюдение, впервые сделанное Джоном Маккеем , стало отправной точкой для теории самогона .',
105 => '',
106 => 'Изучение гипотезы самогона привело Джона Хортона Конвея и Саймона П. Нортона к рассмотрению модульных функций нулевого рода. Если они нормализованы и имеют вид',
107 => '',
108 => ':',
109 => '',
110 => 'затем Джон Г. Томпсон показал, что существует только конечное число таких функций (некоторого конечного уровня), а Крис Дж. Камминс позже показал, что их ровно 6486, 616 из которых имеют целые коэффициенты. ',
111 => '',
112 => '== Альтернативные выражения [ править ] ==',
113 => 'У нас есть',
114 => '',
115 => ':',
116 => '',
117 => 'где ''x'' = ''λ'' (1 − ''λ'' ) , а ''λ'' — модулярная лямбда-функция',
118 => '',
119 => ':',
120 => '',
121 => 'отношение тэта-функций Якоби ''θm ,'' а – квадрат эллиптического модуля ''k <sub>(</sub>'' τ ) . Значение ''j'' не меняется, когда ''λ'' заменяется любым из шести значений перекрестного отношения : ',
122 => '',
123 => ':',
124 => '',
125 => 'Точки ветвления ''j'' находятся в точках {0, 1, ∞} , так что ''j'' — функция Белого . ',
126 => '',
127 => '== Выражения через тэта-функции [ править ] ==',
128 => 'Определим ном ''q'' = ''e'' <sup>π ''iτ''</sup> и тэта-функцию Якоби ,',
129 => '',
130 => ':',
131 => '',
132 => 'из которого можно вывести вспомогательные тета-функции, определенные здесь . Позволять,',
133 => '',
134 => ':',
135 => '',
136 => 'где ''ϑ <sub>ij</sub>'' и ''θ <sub>n</sub>'' — альтернативные обозначения, а ''a'' <sup>4</sup> − ''b'' <sup>4</sup> + ''c'' <sup>4</sup> = 0 . Тогда мы имеем для модулярных инвариантов ''g'' <sub>2</sub> , ''g'' <sub>3</sub> ,',
137 => '',
138 => ':',
139 => '',
140 => 'и модульный дискриминант,',
141 => '',
142 => ':',
143 => '',
144 => 'с эта-функцией Дедекинда ''η'' ( ''τ'' ) . Затем j ( ''τ'' ) можно быстро вычислить '':''',
145 => '',
146 => ':',
147 => '',
148 => '== Алгебраическое определение [ править ] ==',
149 => 'До сих пор мы рассматривали ''j'' как функцию комплексной переменной. Однако как инвариант классов изоморфизма эллиптических кривых его можно определить чисто алгебраически. Пусть',
150 => '',
151 => ':',
152 => '',
153 => '— плоская эллиптическая кривая ''над любым полем'' . Затем мы можем выполнить последовательные преобразования, чтобы привести приведенное выше уравнение к стандартной форме ''y'' <sup>2</sup> = 4 ''x'' <sup>3</sup> − ''g'' <sub>2</sub> ''x'' − ''g'' <sub>3</sub> (обратите внимание, что это преобразование можно выполнить только тогда, когда характеристика поля не равна 2 или 3 ). Итоговые коэффициенты:',
154 => '',
155 => ':',
156 => '',
157 => 'где ''г'' <sub>2</sub> знак равно ''c'' <sub>4</sub> и ''г'' <sub>3</sub> знак равно ''c'' <sub>6</sub> . У нас также есть дискриминант',
158 => '',
159 => ':',
160 => '',
161 => 'j ''-инвариант'' эллиптической кривой теперь можно определить как',
162 => '',
163 => ':',
164 => '',
165 => 'В случае, когда поле, над которым определяется кривая, имеет характеристику, отличную от 2 или 3, это равно',
166 => '',
167 => ':',
168 => '',
169 => '== Обратная функция [ править ] ==',
170 => 'Обратная функция ''j'' - инварианта может быть выражена через гипергеометрическую функцию <sub>2</sub> ''F'' <sub>1</sub> (см. также статью Уравнение Пикара–Фукса ). Явно, учитывая число ''N'' , решить уравнение ''j'' ( ''τ'' ) = ''N'' для ''τ'' можно как минимум четырьмя способами.',
171 => '',
172 => ''''Метод 1''' : Решение секстика в ''λ'' ,',
173 => '',
174 => ':',
175 => '',
176 => 'где ''x'' = ''λ'' (1 − ''λ'' ) , а ''λ'' — модульная лямбда-функция , поэтому секстику можно решить как кубику от ''x'' . Затем,',
177 => '',
178 => ':',
179 => '',
180 => 'для любого из шести значений ''λ'' , где M — среднее арифметико-геометрическое . ',
181 => '',
182 => ''''Метод 2''' : Решение квартики в ''γ'' ,',
183 => '',
184 => ':',
185 => '',
186 => 'тогда для любого из четырех корней',
187 => '',
188 => ':',
189 => '',
190 => ''''Метод 3''' : Решение кубики в ''β'' ,',
191 => '',
192 => ':',
193 => '',
194 => 'тогда для любого из трех корней',
195 => '',
196 => ':',
197 => '',
198 => ''''Метод 4.''' Решение квадратичного уравнения по ''α'' .',
199 => '',
200 => ':',
201 => '',
202 => 'затем,',
203 => '',
204 => ':',
205 => '',
206 => 'Один корень дает ''τ'' , а другой —1/''τ'', но поскольку ''j'' ( ''τ'' ) = ''j'' (−1/''τ'') , то не имеет значения, какой ''α'' выбран. Последние три метода можно найти в теории эллиптических функций Рамануджана с альтернативными базисами.',
207 => '',
208 => 'Инверсия применяется при высокоточном вычислении периодов эллиптических функций, даже если их отношения становятся неограниченными. <sup>[ ''нужна цитация'' ]</sup> Сопутствующим результатом является выразимость через квадратичные радикалы значений ''j'' в точках мнимой оси, величины которых являются степенями 2 (что позволяет строить компас и линейку ). Последний результат едва ли очевиден, поскольку модулярное уравнение для ''j'' порядка 2 является кубическим. ',
209 => '',
210 => '== Формулы Пи [ править ] ==',
211 => 'Братья Чудновские нашли в 1987 году ',
212 => '',
213 => ':',
214 => '',
215 => 'доказательство которого использует тот факт, что',
216 => '',
217 => ':',
218 => '',
219 => 'Подобные формулы см. в серии Рамануджана-Сато .',
220 => '',
221 => '== Специальные значения [ править ] ==',
222 => 'j ''-'' инвариант исчезает в «угле» фундаментальной области :',
223 => '',
224 => ':',
225 => '',
226 => 'Вот еще несколько специальных значений <sup>, ''заданных'' в</sup> альтернативных обозначениях ''J'' ( ''τ'' ) ≡1/1728 г. ''j'' ( ''τ'' ) , первые пять хорошо известны:',
227 => '',
228 => ':',
229 => '',
230 => '== Неспособность классифицировать эллиптические кривые по другим полям [ править ] ==',
231 => 'The -инвариант чувствителен только к классам изоморфизма эллиптических кривых над комплексными числами или, в более общем смысле, к алгебраически замкнутому полю . Над другими полями существуют примеры эллиптических кривых, у которых-инварианты одинаковы, но неизоморфны. Например, пусть— эллиптические кривые, соответствующие полиномам<blockquote></blockquote>оба имеют-инвариант. Тогда рациональные точкиможно вычислить как:<blockquote></blockquote>сРациональных решений не существует. Это можно показать с помощью формулы Кардано , чтобы показать, что в этом случае решения задачивсе иррациональны. С другой стороны, на множестве точек<blockquote></blockquote>уравнение длястановится. Деление наустранитьрешения квадратичная формула дает рациональные решения:<blockquote></blockquote>Если рассматривать эти кривые, существует изоморфизмотправка<blockquote></blockquote>'
] |
Новый текст страницы, очищенный от разметки (new_text) | 'В математике j -инвариант или j- функция Феликса Кляйна , рассматриваемая как функция комплексной переменной τ , представляет собой модульную функцию нулевого веса для SL(2, Z ) , определенную в верхней полуплоскости комплексных чисел . Это единственная такая функция, голоморфная вдали от простого полюса в точке возврата , такая, что  
Рациональные функции от j являются модулярными и фактически дают все модулярные функции. Классически j -инвариант изучался как параметризация эллиптических кривых над, но он также имеет удивительные связи с симметриями группы Монстров (эту связь называют чудовищным самогоном ).
Содержание
1 Определение [ править ]
2 Фундаментальная область [ править ]
3 Теория полей классов и j [ править ]
4 Свойства трансцендентности [ править ]
5 Q - расширение и самогон [ править ]
5.1 Самогон [ править ]
6 Альтернативные выражения [ править ]
7 Выражения через тэта-функции [ править ]
8 Алгебраическое определение [ править ]
9 Обратная функция [ править ]
10 Формулы Пи [ править ]
11 Специальные значения [ править ]
12 Неспособность классифицировать эллиптические кривые по другим полям [ править ]
Определение [ править ][править | править код]
Дополнительная информация: Эллиптическая кривая § Эллиптические кривые над комплексными числами и модульные формы.
j -инвариант можно определить как функцию в верхней полуплоскости H = { τ ∈ C , Im ( τ ) > 0},
с третьим определением, подразумевающимможно выразить в виде куба , также с 1728 г..
Данные функции являются модульным дискриминантом , эта-функция Дедекинда и модульные инварианты,
где,являются рядами Фурье ,
и,являются рядами Эйзенштейна ,
и(квадрат нома ) . Тогда j -инвариант может быть непосредственно выражен через ряд Эйзенштейна как :
без числового коэффициента, отличного от 1728. Это подразумевает третий способ определения модульного дискриминанта:
Например, используя приведенные выше определения и, то эта-функция Дедекиндаимеет точное значение ,
подразумевая трансцендентные числа ,
но давая алгебраическое число (на самом деле целое число ),
В общем, это можно мотивировать, рассматривая каждое τ как представление класса изоморфизма эллиптических кривых. Каждая эллиптическая кривая E над C является комплексным тором и, следовательно, может быть отождествлена с решеткой ранга 2; то есть двумерная решетка C . Эту решетку можно вращать и масштабировать (операции, сохраняющие класс изоморфизма), так что она порождается 1 и τ ∈ H . Эта решетка соответствует эллиптической кривой(см. эллиптические функции Вейерштрасса ).
Обратите внимание, что j определен всюду в H , поскольку модульный дискриминант не равен нулю. Это связано с тем, что соответствующий кубический многочлен имеет разные корни.
Фундаментальная область [ править ][править | править код]
Можно показать, что Δ — модульная форма с весом двенадцать, а g 2 — с весом четыре, так что его третья степень также имеет вес двенадцать. Таким образом, их фактор, а, следовательно, и j , является модулярной функцией нулевого веса, в частности, голоморфной функцией H → C , инвариантной относительно действия SL(2, Z ) . Факторизация по ее центру {±I} дает модулярную группу , которую мы можем отождествить с проективной специальной линейной группой PSL(2, Z ) .
Подходящим выбором преобразований, принадлежащих к этой группе,
мы можем уменьшить τ до значения, дающего то же значение для j и лежащего в фундаментальной области для j , которая состоит из значений τ , удовлетворяющих условиям
Функция j ( τ ) , ограниченная этой областью, по-прежнему принимает каждое значение комплексных чисел C ровно один раз. Другими словами, для каждого c в C существует уникальное τ в фундаментальной области такое, что c = j ( τ ) . Таким образом, j обладает свойством отображать фундаментальную область на всю комплексную плоскость.
Кроме того, два значения τ,τ' ∈ H образуют одну и ту же эллиптическую кривую тогда и только тогда, когда τ = T(τ') для некоторого T ∈ PSL(2, Z ) . Это означает, что j обеспечивает биекцию множества эллиптических кривых над C на комплексную плоскость.
Как риманова поверхность , фундаментальная область имеет род 0 , и каждая модулярная функция ( первого уровня ) является рациональной функцией от j ; и, наоборот, каждая рациональная функция от j является модулярной функцией. Другими словами, поле модулярных функций — это C ( j ) .
Теория полей классов и j [ править ][править | править код]
j -инвариант обладает множеством замечательных свойств :
Если τ — любая точка верхней полуплоскости, соответствующая эллиптическая кривая которой имеет комплексное умножение (то есть, если τ — любой элемент мнимого квадратичного поля с положительной мнимой частью, так что j определен), то j ( τ ) является алгебраическое целое число .  Эти специальные значения называются сингулярными модулями .
Расширение поля Q [ j ( τ ), τ ]/ Q ( τ ) является абелевым, т. е. имеет абелеву группу Галуа .
Пусть Λ — решетка в C , порожденная {1, τ }. Легко видеть, что все элементы Q ( τ ) , фиксирующие Λ при умножении, образуют кольцо с единицами, называемое порядком . Остальные решетки с образующими {1, τ } , связанные аналогичным образом с тем же порядком, определяют алгебраические сопряжения j ( τ ) к j ( τ ) над Q ( τ ) . Упорядоченный по включению, единственный максимальный порядок в Q ( τ ) представляет собой кольцо целых алгебраических чисел Q ( τ ) , и значения τ , имеющие его в качестве ассоциированного порядка, приводят к неразветвленным расширениям Q ( τ ) .
Эти классические результаты являются отправной точкой теории комплексного умножения .
Свойства трансцендентности [ править ][править | править код]
В 1937 году Теодор Шнайдер доказал вышеупомянутый результат: если τ — квадратичное иррациональное число в верхней полуплоскости, то j ( τ ) — целое алгебраическое число. Кроме того, он доказал, что если τ — алгебраическое число , а не мнимое квадратичное, то j ( τ ) трансцендентно.
Функция j обладает множеством других трансцендентных свойств. Курт Малер выдвинул особую гипотезу о трансцендентности, которую часто называют гипотезой Малера, хотя она была доказана как следствие результатов Ю. В. Нестеренко и Патрис Филлипон в 1990-е годы. Гипотеза Малера заключалась в том, что если τ находится в верхней полуплоскости, то e 2π iτ и j ( τ ) никогда не были одновременно алгебраическими. Теперь известны более сильные результаты, например, если e 2π iτ алгебраическое, то следующие три числа алгебраически независимы и, следовательно, по крайней мере два из них трансцендентны:
Q - расширение и самогон [ править ][править | править код]
Несколько замечательных свойств j связаны с его q -разложением ( разложением в ряд Фурье ), записанным в виде ряда Лорана через q = e 2π iτ , которое начинается:
Обратите внимание, что j имеет простой полюс на вершине, поэтому в его q -разложении нет членов ниже q −1 .
Все коэффициенты Фурье являются целыми числами, в результате чего получается несколько почти целых чисел , в частности константа Рамануджана :
.
Асимптотическая формула для коэффициента при q n имеет вид
,
что можно доказать с помощью метода круга Харди – Литтлвуда .
Самогон [ править ][править | править код]
Еще более примечательно то, что коэффициенты Фурье для положительных показателей q — это размерности градуированной части бесконечномерного градуированного алгебраического представления группы монстров , называемого модулем самогона . В частности, коэффициент q n — это размерность градуированной алгебры . часть самогонного модуля, первым примером является алгебра Грисса , имеющая размерность 196884, что соответствует терму 196884q . Это поразительное наблюдение, впервые сделанное Джоном Маккеем , стало отправной точкой для теории самогона .
Изучение гипотезы самогона привело Джона Хортона Конвея и Саймона П. Нортона к рассмотрению модульных функций нулевого рода. Если они нормализованы и имеют вид
затем Джон Г. Томпсон показал, что существует только конечное число таких функций (некоторого конечного уровня), а Крис Дж. Камминс позже показал, что их ровно 6486, 616 из которых имеют целые коэффициенты.
Альтернативные выражения [ править ][править | править код]
У нас есть
где x = λ (1 − λ ) , а λ — модулярная лямбда-функция
отношение тэта-функций Якоби θm , а – квадрат эллиптического модуля k ( τ ) .  Значение j не меняется, когда λ заменяется любым из шести значений перекрестного отношения :
Точки ветвления j находятся в точках {0, 1, ∞} , так что j — функция Белого .
Выражения через тэта-функции [ править ][править | править код]
Определим ном q = e π iτ и тэта-функцию Якоби ,
из которого можно вывести вспомогательные тета-функции, определенные здесь . Позволять,
где ϑ ij и θ n — альтернативные обозначения, а a 4 − b 4 + c 4 = 0 . Тогда мы имеем для модулярных инвариантов g 2 , g 3 ,
и модульный дискриминант,
с эта-функцией Дедекинда η ( τ ) . Затем j ( τ ) можно быстро вычислить :
Алгебраическое определение [ править ][править | править код]
До сих пор мы рассматривали j как функцию комплексной переменной. Однако как инвариант классов изоморфизма эллиптических кривых его можно определить чисто алгебраически.  Пусть
— плоская эллиптическая кривая над любым полем . Затем мы можем выполнить последовательные преобразования, чтобы привести приведенное выше уравнение к стандартной форме y 2 = 4 x 3 − g 2 x − g 3 (обратите внимание, что это преобразование можно выполнить только тогда, когда характеристика поля не равна 2 или 3 ). Итоговые коэффициенты:
где г 2 знак равно c 4 и г 3 знак равно c 6 . У нас также есть дискриминант
j -инвариант эллиптической кривой теперь можно определить как
В случае, когда поле, над которым определяется кривая, имеет характеристику, отличную от 2 или 3, это равно
Обратная функция [ править ][править | править код]
Обратная функция j - инварианта может быть выражена через гипергеометрическую функцию 2 F 1 (см. также статью Уравнение Пикара–Фукса ). Явно, учитывая число N , решить уравнение j ( τ ) = N для τ можно как минимум четырьмя способами.
Метод 1 : Решение секстика в λ ,
где x = λ (1 − λ ) , а λ — модульная лямбда-функция , поэтому секстику можно решить как кубику от x . Затем,
для любого из шести значений λ , где M — среднее арифметико-геометрическое .
Метод 2 : Решение квартики в γ ,
тогда для любого из четырех корней
Метод 3 : Решение кубики в β ,
тогда для любого из трех корней
Метод 4. Решение квадратичного уравнения по α .
затем,
Один корень дает τ , а другой —1/τ, но поскольку j ( τ ) = j (−1/τ) , то не имеет значения, какой α выбран. Последние три метода можно найти в теории эллиптических функций Рамануджана с альтернативными базисами.
Инверсия применяется при высокоточном вычислении периодов эллиптических функций, даже если их отношения становятся неограниченными. [ нужна цитация ] Сопутствующим результатом является выразимость через квадратичные радикалы значений j в точках мнимой оси, величины которых являются степенями 2 (что позволяет строить компас и линейку ). Последний результат едва ли очевиден, поскольку модулярное уравнение для j порядка 2 является кубическим.
Формулы Пи [ править ][править | править код]
Братья Чудновские нашли в 1987 году
доказательство которого использует тот факт, что
Подобные формулы см. в серии Рамануджана-Сато .
Специальные значения [ править ][править | править код]
j - инвариант исчезает в «угле» фундаментальной области :
Вот еще несколько специальных значений , заданных в альтернативных обозначениях J ( τ ) ≡1/1728 г. j ( τ ) , первые пять хорошо известны:
Неспособность классифицировать эллиптические кривые по другим полям [ править ][править | править код]
The -инвариант чувствителен только к классам изоморфизма эллиптических кривых над комплексными числами или, в более общем смысле, к алгебраически замкнутому полю . Над другими полями существуют примеры эллиптических кривых, у которых-инварианты одинаковы, но неизоморфны. Например, пусть— эллиптические кривые, соответствующие полиномамоба имеют-инвариант. Тогда рациональные точкиможно вычислить как:сРациональных решений не существует. Это можно показать с помощью формулы Кардано , чтобы показать, что в этом случае решения задачивсе иррациональны. С другой стороны, на множестве точекуравнение длястановится. Деление наустранитьрешения квадратичная формула дает рациональные решения:Если рассматривать эти кривые, существует изоморфизмотправка' |
Разобранный HTML-код новой версии (new_html) | '<div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="ru" dir="ltr"><p>В математике <b><i>j</i> -инвариант</b> или <b><i>j-</i> функция</b> Феликса Кляйна , рассматриваемая как функция комплексной переменной <i>τ</i> , представляет собой модульную функцию нулевого веса для SL(2, <b>Z</b> ) , определенную в верхней полуплоскости комплексных чисел . Это единственная такая функция, голоморфная вдали от простого полюса в точке возврата , такая, что  
</p>
<dl><dd></dd></dl>
<p>Рациональные функции от <i>j</i> являются модулярными и фактически дают все модулярные функции. Классически <i>j</i> -инвариант изучался как параметризация эллиптических кривых над, но он также имеет удивительные связи с симметриями группы Монстров (эту связь называют чудовищным самогоном ).
</p>
<div id="toc" class="toc" role="navigation" aria-labelledby="mw-toc-heading"><input type="checkbox" role="button" id="toctogglecheckbox" class="toctogglecheckbox" style="display:none" /><div class="toctitle" lang="ru" dir="ltr"><h2 id="mw-toc-heading">Содержание</h2><span class="toctogglespan"><label class="toctogglelabel" for="toctogglecheckbox"></label></span></div>
<ul>
<li class="toclevel-1 tocsection-1"><a href="#Определение_[_править_]"><span class="tocnumber">1</span> <span class="toctext">Определение [ править ]</span></a></li>
<li class="toclevel-1 tocsection-2"><a href="#Фундаментальная_область_[_править_]"><span class="tocnumber">2</span> <span class="toctext">Фундаментальная область [ править ]</span></a></li>
<li class="toclevel-1 tocsection-3"><a href="#Теория_полей_классов_и_j_[_править_]"><span class="tocnumber">3</span> <span class="toctext">Теория полей классов и <i>j</i> [ править ]</span></a></li>
<li class="toclevel-1 tocsection-4"><a href="#Свойства_трансцендентности_[_править_]"><span class="tocnumber">4</span> <span class="toctext">Свойства трансцендентности [ править ]</span></a></li>
<li class="toclevel-1 tocsection-5"><a href="#Q_-_расширение_и_самогон_[_править_]"><span class="tocnumber">5</span> <span class="toctext">Q <i>-</i> расширение и самогон [ править ]</span></a>
<ul>
<li class="toclevel-2 tocsection-6"><a href="#Самогон_[_править_]"><span class="tocnumber">5.1</span> <span class="toctext">Самогон [ править ]</span></a></li>
</ul>
</li>
<li class="toclevel-1 tocsection-7"><a href="#Альтернативные_выражения_[_править_]"><span class="tocnumber">6</span> <span class="toctext">Альтернативные выражения [ править ]</span></a></li>
<li class="toclevel-1 tocsection-8"><a href="#Выражения_через_тэта-функции_[_править_]"><span class="tocnumber">7</span> <span class="toctext">Выражения через тэта-функции [ править ]</span></a></li>
<li class="toclevel-1 tocsection-9"><a href="#Алгебраическое_определение_[_править_]"><span class="tocnumber">8</span> <span class="toctext">Алгебраическое определение [ править ]</span></a></li>
<li class="toclevel-1 tocsection-10"><a href="#Обратная_функция_[_править_]"><span class="tocnumber">9</span> <span class="toctext">Обратная функция [ править ]</span></a></li>
<li class="toclevel-1 tocsection-11"><a href="#Формулы_Пи_[_править_]"><span class="tocnumber">10</span> <span class="toctext">Формулы Пи [ править ]</span></a></li>
<li class="toclevel-1 tocsection-12"><a href="#Специальные_значения_[_править_]"><span class="tocnumber">11</span> <span class="toctext">Специальные значения [ править ]</span></a></li>
<li class="toclevel-1 tocsection-13"><a href="#Неспособность_классифицировать_эллиптические_кривые_по_другим_полям_[_править_]"><span class="tocnumber">12</span> <span class="toctext">Неспособность классифицировать эллиптические кривые по другим полям [ править ]</span></a></li>
</ul>
</div>
<h2><span id=".D0.9E.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.5B_.D0.BF.D1.80.D0.B0.D0.B2.D0.B8.D1.82.D1.8C_.5D"></span><span class="mw-headline" id="Определение_[_править_]">Определение [ править ]</span><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=J-%D0%B8%D0%BD%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82&veaction=edit&section=1" title="Редактировать раздел «Определение [ править ]»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>править</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=J-%D0%B8%D0%BD%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82&action=edit&section=1" title="Редактировать код раздела «Определение [ править ]»"><span>править код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></h2>
<p>Дополнительная информация: Эллиптическая кривая § Эллиптические кривые над комплексными числами и модульные формы.
</p><p>j <i>-инвариант</i> можно определить как функцию в верхней полуплоскости <b>H</b> = { <i>τ</i> ∈ <b>C</b> , Im ( <i>τ</i> ) > 0},
</p>
<dl><dd></dd></dl>
<p>с третьим определением, подразумевающимможно выразить в виде куба , также с 1728 г..
</p><p>Данные функции являются модульным дискриминантом , эта-функция Дедекинда и модульные инварианты,
</p>
<dl><dd></dd>
<dd></dd></dl>
<p>где,являются рядами Фурье ,
</p>
<dl><dd></dd></dl>
<p>и,являются рядами Эйзенштейна ,
</p>
<dl><dd></dd></dl>
<p>и(квадрат нома ) . Тогда j -инвариант может быть непосредственно выражен через ряд Эйзенштейна как <i>:</i>
</p>
<dl><dd></dd></dl>
<p>без числового коэффициента, отличного от 1728. Это подразумевает третий способ определения модульного дискриминанта:
</p>
<dl><dd></dd></dl>
<p>Например, используя приведенные выше определения и, то эта-функция Дедекиндаимеет точное значение ,
</p>
<dl><dd></dd></dl>
<p>подразумевая трансцендентные числа ,
</p>
<dl><dd></dd></dl>
<p>но давая алгебраическое число (на самом деле целое число ),
</p>
<dl><dd></dd></dl>
<p>В общем, это можно мотивировать, рассматривая каждое τ как представление класса изоморфизма эллиптических кривых. Каждая эллиптическая кривая <i>E</i> над <b>C</b> является комплексным тором и, следовательно, может быть отождествлена с решеткой ранга 2; то есть двумерная решетка <b>C</b> . Эту решетку можно вращать и масштабировать (операции, сохраняющие класс изоморфизма), так что она порождается 1 и <i>τ</i> ∈ <b>H</b> . Эта решетка соответствует эллиптической кривой(см. эллиптические функции Вейерштрасса ).
</p><p>Обратите внимание, что <i>j</i> определен всюду в <b>H</b> , поскольку модульный дискриминант не равен нулю. Это связано с тем, что соответствующий кубический многочлен имеет разные корни.
</p>
<h2><span id=".D0.A4.D1.83.D0.BD.D0.B4.D0.B0.D0.BC.D0.B5.D0.BD.D1.82.D0.B0.D0.BB.D1.8C.D0.BD.D0.B0.D1.8F_.D0.BE.D0.B1.D0.BB.D0.B0.D1.81.D1.82.D1.8C_.5B_.D0.BF.D1.80.D0.B0.D0.B2.D0.B8.D1.82.D1.8C_.5D"></span><span class="mw-headline" id="Фундаментальная_область_[_править_]">Фундаментальная область [ править ]</span><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=J-%D0%B8%D0%BD%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82&veaction=edit&section=2" title="Редактировать раздел «Фундаментальная область [ править ]»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>править</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=J-%D0%B8%D0%BD%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82&action=edit&section=2" title="Редактировать код раздела «Фундаментальная область [ править ]»"><span>править код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></h2>
<p>Можно показать, что Δ — модульная форма с весом двенадцать, а <i>g</i> <sub>2</sub> — с весом четыре, так что его третья степень также имеет вес двенадцать. Таким образом, их фактор, а, следовательно, и <i>j</i> , является модулярной функцией нулевого веса, в частности, голоморфной функцией <b>H</b> → <b>C</b> , инвариантной относительно действия SL(2, <b>Z</b> ) . Факторизация по ее центру {±I} дает модулярную группу , которую мы можем отождествить с проективной специальной линейной группой PSL(2, <b>Z</b> ) .
</p><p>Подходящим выбором преобразований, принадлежащих к этой группе,
</p>
<dl><dd></dd></dl>
<p>мы можем уменьшить <i>τ</i> до значения, дающего то же значение для <i>j</i> и лежащего в фундаментальной области для <i>j</i> , которая состоит из значений <i>τ</i> , удовлетворяющих условиям
</p>
<dl><dd></dd></dl>
<p>Функция <i>j</i> ( <i>τ</i> ) , ограниченная этой областью, по-прежнему принимает каждое значение комплексных чисел <b>C</b> ровно один раз. Другими словами, для каждого <i>c</i> в <b>C</b> существует уникальное τ в фундаментальной области такое, что <i>c</i> = <i>j</i> ( <i>τ</i> ) . Таким образом, <i>j</i> обладает свойством отображать фундаментальную область на всю комплексную плоскость.
</p><p>Кроме того, два значения τ,τ' ∈ <b>H</b> образуют одну и ту же эллиптическую кривую тогда и только тогда, когда τ = T(τ') для некоторого T ∈ PSL(2, <b>Z</b> ) . Это означает, что <i>j</i> обеспечивает биекцию множества эллиптических кривых над <b>C</b> на комплексную плоскость.
</p><p>Как риманова поверхность , фундаментальная область имеет род 0 , и каждая модулярная функция ( первого уровня ) является рациональной функцией от <i>j</i> ; и, наоборот, каждая рациональная функция от <i>j</i> является модулярной функцией. Другими словами, поле модулярных функций — это <b>C</b> ( <i>j</i> ) .
</p>
<h2><span id=".D0.A2.D0.B5.D0.BE.D1.80.D0.B8.D1.8F_.D0.BF.D0.BE.D0.BB.D0.B5.D0.B9_.D0.BA.D0.BB.D0.B0.D1.81.D1.81.D0.BE.D0.B2_.D0.B8_j_.5B_.D0.BF.D1.80.D0.B0.D0.B2.D0.B8.D1.82.D1.8C_.5D"></span><span class="mw-headline" id="Теория_полей_классов_и_j_[_править_]">Теория полей классов и <i>j</i> [ править ]</span><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=J-%D0%B8%D0%BD%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82&veaction=edit&section=3" title="Редактировать раздел «Теория полей классов и j [ править ]»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>править</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=J-%D0%B8%D0%BD%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82&action=edit&section=3" title="Редактировать код раздела «Теория полей классов и j [ править ]»"><span>править код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></h2>
<p>j -инвариант обладает множеством замечательных свойств <i>:</i>
</p>
<ul><li>Если <i>τ</i> — любая точка верхней полуплоскости, соответствующая эллиптическая кривая которой имеет комплексное умножение (то есть, если <i>τ</i> — любой элемент мнимого квадратичного поля с положительной мнимой частью, так что <i>j</i> определен), то <i>j</i> ( <i>τ</i> ) является алгебраическое целое число .  Эти специальные значения называются сингулярными модулями .</li>
<li>Расширение поля <b>Q</b> [ <i>j</i> ( <i>τ</i> ), <i>τ</i> ]/ <b>Q</b> ( <i>τ</i> ) является абелевым, т. е. имеет абелеву группу Галуа .</li>
<li>Пусть Λ — решетка в <b>C</b> , порожденная {1, <i>τ</i> }. Легко видеть, что все элементы <b>Q</b> ( <i>τ</i> ) , фиксирующие Λ при умножении, образуют кольцо с единицами, называемое порядком . Остальные решетки с образующими {1, <i>τ }</i> , связанные аналогичным образом с тем же порядком, определяют алгебраические сопряжения <i>j</i> ( <i>τ )</i> к <i>j</i> ( <i>τ</i> ) над <b>Q</b> ( <i>τ</i> ) . Упорядоченный по включению, единственный максимальный порядок в <b>Q</b> ( <i>τ</i> ) представляет собой кольцо целых алгебраических чисел <b>Q</b> ( <i>τ</i> ) , и значения <i>τ</i> , имеющие его в качестве ассоциированного порядка, приводят к неразветвленным расширениям <b>Q</b> ( <i>τ</i> ) .</li></ul>
<p>Эти классические результаты являются отправной точкой теории комплексного умножения .
</p>
<h2><span id=".D0.A1.D0.B2.D0.BE.D0.B9.D1.81.D1.82.D0.B2.D0.B0_.D1.82.D1.80.D0.B0.D0.BD.D1.81.D1.86.D0.B5.D0.BD.D0.B4.D0.B5.D0.BD.D1.82.D0.BD.D0.BE.D1.81.D1.82.D0.B8_.5B_.D0.BF.D1.80.D0.B0.D0.B2.D0.B8.D1.82.D1.8C_.5D"></span><span class="mw-headline" id="Свойства_трансцендентности_[_править_]">Свойства трансцендентности [ править ]</span><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=J-%D0%B8%D0%BD%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82&veaction=edit&section=4" title="Редактировать раздел «Свойства трансцендентности [ править ]»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>править</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=J-%D0%B8%D0%BD%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82&action=edit&section=4" title="Редактировать код раздела «Свойства трансцендентности [ править ]»"><span>править код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></h2>
<p>В 1937 году Теодор Шнайдер доказал вышеупомянутый результат: если <i>τ</i> — квадратичное иррациональное число в верхней полуплоскости, то <i>j</i> ( <i>τ</i> ) — целое алгебраическое число. Кроме того, он доказал, что если <i>τ</i> — алгебраическое число , а не мнимое квадратичное, то <i>j</i> ( <i>τ</i> ) трансцендентно.
</p><p>Функция <i>j</i> обладает множеством других трансцендентных свойств. Курт Малер выдвинул особую гипотезу о трансцендентности, которую часто называют гипотезой Малера, хотя она была доказана как следствие результатов Ю. В. Нестеренко и Патрис Филлипон в 1990-е годы. Гипотеза Малера заключалась в том, что если <i>τ</i> находится в верхней полуплоскости, то <i>e</i> <sup>2π <i>iτ</i></sup> и <i>j</i> ( <i>τ</i> ) никогда не были одновременно алгебраическими. Теперь известны более сильные результаты, например, если <i>e</i> <sup>2π <i>iτ</i></sup> алгебраическое, то следующие три числа алгебраически независимы и, следовательно, по крайней мере два из них трансцендентны:
</p>
<dl><dd></dd></dl>
<h2><span id="Q_-_.D1.80.D0.B0.D1.81.D1.88.D0.B8.D1.80.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D0.B8_.D1.81.D0.B0.D0.BC.D0.BE.D0.B3.D0.BE.D0.BD_.5B_.D0.BF.D1.80.D0.B0.D0.B2.D0.B8.D1.82.D1.8C_.5D"></span><span class="mw-headline" id="Q_-_расширение_и_самогон_[_править_]">Q <i>-</i> расширение и самогон [ править ]</span><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=J-%D0%B8%D0%BD%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82&veaction=edit&section=5" title="Редактировать раздел «Q - расширение и самогон [ править ]»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>править</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=J-%D0%B8%D0%BD%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82&action=edit&section=5" title="Редактировать код раздела «Q - расширение и самогон [ править ]»"><span>править код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></h2>
<p>Несколько замечательных свойств <i>j</i> связаны с его <i>q</i> -разложением ( разложением в ряд Фурье ), записанным в виде ряда Лорана через <i>q</i> = <i>e</i> <sup>2π <i>iτ</i></sup> , которое начинается:
</p>
<dl><dd></dd></dl>
<p>Обратите внимание, что <i>j</i> имеет простой полюс на вершине, поэтому в его <i>q</i> -разложении нет членов ниже <i>q</i> <sup>−1</sup> .
</p><p>Все коэффициенты Фурье являются целыми числами, в результате чего получается несколько почти целых чисел , в частности константа Рамануджана :
</p>
<dl><dd>.</dd></dl>
<p>Асимптотическая формула для коэффициента при <i>q <sup>n</sup></i> имеет вид
</p>
<dl><dd>,</dd></dl>
<p>что можно доказать с помощью метода круга Харди – Литтлвуда .
</p>
<h3><span id=".D0.A1.D0.B0.D0.BC.D0.BE.D0.B3.D0.BE.D0.BD_.5B_.D0.BF.D1.80.D0.B0.D0.B2.D0.B8.D1.82.D1.8C_.5D"></span><span class="mw-headline" id="Самогон_[_править_]">Самогон [ править ]</span><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=J-%D0%B8%D0%BD%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82&veaction=edit&section=6" title="Редактировать раздел «Самогон [ править ]»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>править</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=J-%D0%B8%D0%BD%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82&action=edit&section=6" title="Редактировать код раздела «Самогон [ править ]»"><span>править код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></h3>
<p>Еще более примечательно то, что коэффициенты Фурье для положительных показателей <i>q</i> — это размерности градуированной части бесконечномерного градуированного алгебраического представления группы монстров , называемого <i>модулем самогона</i> . В частности, коэффициент <i>q <sup>n</sup></i> — это размерность градуированной алгебры <i>.</i> часть самогонного модуля, первым примером является <i>алгебра</i> Грисса , имеющая размерность 196884, что соответствует терму 196884q . Это поразительное наблюдение, впервые сделанное Джоном Маккеем , стало отправной точкой для теории самогона .
</p><p>Изучение гипотезы самогона привело Джона Хортона Конвея и Саймона П. Нортона к рассмотрению модульных функций нулевого рода. Если они нормализованы и имеют вид
</p>
<dl><dd></dd></dl>
<p>затем Джон Г. Томпсон показал, что существует только конечное число таких функций (некоторого конечного уровня), а Крис Дж. Камминс позже показал, что их ровно 6486, 616 из которых имеют целые коэффициенты.
</p>
<h2><span id=".D0.90.D0.BB.D1.8C.D1.82.D0.B5.D1.80.D0.BD.D0.B0.D1.82.D0.B8.D0.B2.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D0.B2.D1.8B.D1.80.D0.B0.D0.B6.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D1.8F_.5B_.D0.BF.D1.80.D0.B0.D0.B2.D0.B8.D1.82.D1.8C_.5D"></span><span class="mw-headline" id="Альтернативные_выражения_[_править_]">Альтернативные выражения [ править ]</span><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=J-%D0%B8%D0%BD%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82&veaction=edit&section=7" title="Редактировать раздел «Альтернативные выражения [ править ]»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>править</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=J-%D0%B8%D0%BD%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82&action=edit&section=7" title="Редактировать код раздела «Альтернативные выражения [ править ]»"><span>править код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></h2>
<p>У нас есть
</p>
<dl><dd></dd></dl>
<p>где <i>x</i> = <i>λ</i> (1 − <i>λ</i> ) , а <i>λ</i> — модулярная лямбда-функция
</p>
<dl><dd></dd></dl>
<p>отношение тэта-функций Якоби <i>θm ,</i> а – квадрат эллиптического модуля <i>k <sub>(</sub></i> τ ) .  Значение <i>j</i> не меняется, когда <i>λ</i> заменяется любым из шести значений перекрестного отношения :
</p>
<dl><dd></dd></dl>
<p>Точки ветвления <i>j</i> находятся в точках {0, 1, ∞} , так что <i>j</i> — функция Белого .
</p>
<h2><span id=".D0.92.D1.8B.D1.80.D0.B0.D0.B6.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D1.8F_.D1.87.D0.B5.D1.80.D0.B5.D0.B7_.D1.82.D1.8D.D1.82.D0.B0-.D1.84.D1.83.D0.BD.D0.BA.D1.86.D0.B8.D0.B8_.5B_.D0.BF.D1.80.D0.B0.D0.B2.D0.B8.D1.82.D1.8C_.5D"></span><span class="mw-headline" id="Выражения_через_тэта-функции_[_править_]">Выражения через тэта-функции [ править ]</span><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=J-%D0%B8%D0%BD%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82&veaction=edit&section=8" title="Редактировать раздел «Выражения через тэта-функции [ править ]»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>править</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=J-%D0%B8%D0%BD%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82&action=edit&section=8" title="Редактировать код раздела «Выражения через тэта-функции [ править ]»"><span>править код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></h2>
<p>Определим ном <i>q</i> = <i>e</i> <sup>π <i>iτ</i></sup> и тэта-функцию Якоби ,
</p>
<dl><dd></dd></dl>
<p>из которого можно вывести вспомогательные тета-функции, определенные здесь . Позволять,
</p>
<dl><dd></dd></dl>
<p>где <i>ϑ <sub>ij</sub></i> и <i>θ <sub>n</sub></i> — альтернативные обозначения, а <i>a</i> <sup>4</sup> − <i>b</i> <sup>4</sup> + <i>c</i> <sup>4</sup> = 0 . Тогда мы имеем для модулярных инвариантов <i>g</i> <sub>2</sub> , <i>g</i> <sub>3</sub> ,
</p>
<dl><dd></dd></dl>
<p>и модульный дискриминант,
</p>
<dl><dd></dd></dl>
<p>с эта-функцией Дедекинда <i>η</i> ( <i>τ</i> ) . Затем j ( <i>τ</i> ) можно быстро вычислить <i>:</i>
</p>
<dl><dd></dd></dl>
<h2><span id=".D0.90.D0.BB.D0.B3.D0.B5.D0.B1.D1.80.D0.B0.D0.B8.D1.87.D0.B5.D1.81.D0.BA.D0.BE.D0.B5_.D0.BE.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.5B_.D0.BF.D1.80.D0.B0.D0.B2.D0.B8.D1.82.D1.8C_.5D"></span><span class="mw-headline" id="Алгебраическое_определение_[_править_]">Алгебраическое определение [ править ]</span><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=J-%D0%B8%D0%BD%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82&veaction=edit&section=9" title="Редактировать раздел «Алгебраическое определение [ править ]»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>править</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=J-%D0%B8%D0%BD%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82&action=edit&section=9" title="Редактировать код раздела «Алгебраическое определение [ править ]»"><span>править код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></h2>
<p>До сих пор мы рассматривали <i>j</i> как функцию комплексной переменной. Однако как инвариант классов изоморфизма эллиптических кривых его можно определить чисто алгебраически.  Пусть
</p>
<dl><dd></dd></dl>
<p>— плоская эллиптическая кривая <i>над любым полем</i> . Затем мы можем выполнить последовательные преобразования, чтобы привести приведенное выше уравнение к стандартной форме <i>y</i> <sup>2</sup> = 4 <i>x</i> <sup>3</sup> − <i>g</i> <sub>2</sub> <i>x</i> − <i>g</i> <sub>3</sub> (обратите внимание, что это преобразование можно выполнить только тогда, когда характеристика поля не равна 2 или 3 ). Итоговые коэффициенты:
</p>
<dl><dd></dd></dl>
<p>где <i>г</i> <sub>2</sub> знак равно <i>c</i> <sub>4</sub> и <i>г</i> <sub>3</sub> знак равно <i>c</i> <sub>6</sub> . У нас также есть дискриминант
</p>
<dl><dd></dd></dl>
<p>j <i>-инвариант</i> эллиптической кривой теперь можно определить как
</p>
<dl><dd></dd></dl>
<p>В случае, когда поле, над которым определяется кривая, имеет характеристику, отличную от 2 или 3, это равно
</p>
<dl><dd></dd></dl>
<h2><span id=".D0.9E.D0.B1.D1.80.D0.B0.D1.82.D0.BD.D0.B0.D1.8F_.D1.84.D1.83.D0.BD.D0.BA.D1.86.D0.B8.D1.8F_.5B_.D0.BF.D1.80.D0.B0.D0.B2.D0.B8.D1.82.D1.8C_.5D"></span><span class="mw-headline" id="Обратная_функция_[_править_]">Обратная функция [ править ]</span><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=J-%D0%B8%D0%BD%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82&veaction=edit&section=10" title="Редактировать раздел «Обратная функция [ править ]»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>править</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=J-%D0%B8%D0%BD%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82&action=edit&section=10" title="Редактировать код раздела «Обратная функция [ править ]»"><span>править код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></h2>
<p>Обратная функция <i>j</i> - инварианта может быть выражена через гипергеометрическую функцию <sub>2</sub> <i>F</i> <sub>1</sub> (см. также статью Уравнение Пикара–Фукса ). Явно, учитывая число <i>N</i> , решить уравнение <i>j</i> ( <i>τ</i> ) = <i>N</i> для <i>τ</i> можно как минимум четырьмя способами.
</p><p><b>Метод 1</b> : Решение секстика в <i>λ</i> ,
</p>
<dl><dd></dd></dl>
<p>где <i>x</i> = <i>λ</i> (1 − <i>λ</i> ) , а <i>λ</i> — модульная лямбда-функция , поэтому секстику можно решить как кубику от <i>x</i> . Затем,
</p>
<dl><dd></dd></dl>
<p>для любого из шести значений <i>λ</i> , где M — среднее арифметико-геометрическое .
</p><p><b>Метод 2</b> : Решение квартики в <i>γ</i> ,
</p>
<dl><dd></dd></dl>
<p>тогда для любого из четырех корней
</p>
<dl><dd></dd></dl>
<p><b>Метод 3</b> : Решение кубики в <i>β</i> ,
</p>
<dl><dd></dd></dl>
<p>тогда для любого из трех корней
</p>
<dl><dd></dd></dl>
<p><b>Метод 4.</b> Решение квадратичного уравнения по <i>α</i> .
</p>
<dl><dd></dd></dl>
<p>затем,
</p>
<dl><dd></dd></dl>
<p>Один корень дает <i>τ</i> , а другой —1/<i>τ</i>, но поскольку <i>j</i> ( <i>τ</i> ) = <i>j</i> (−1/<i>τ</i>) , то не имеет значения, какой <i>α</i> выбран. Последние три метода можно найти в теории эллиптических функций Рамануджана с альтернативными базисами.
</p><p>Инверсия применяется при высокоточном вычислении периодов эллиптических функций, даже если их отношения становятся неограниченными. <sup>[ <i>нужна цитация</i> ]</sup> Сопутствующим результатом является выразимость через квадратичные радикалы значений <i>j</i> в точках мнимой оси, величины которых являются степенями 2 (что позволяет строить компас и линейку ). Последний результат едва ли очевиден, поскольку модулярное уравнение для <i>j</i> порядка 2 является кубическим.
</p>
<h2><span id=".D0.A4.D0.BE.D1.80.D0.BC.D1.83.D0.BB.D1.8B_.D0.9F.D0.B8_.5B_.D0.BF.D1.80.D0.B0.D0.B2.D0.B8.D1.82.D1.8C_.5D"></span><span class="mw-headline" id="Формулы_Пи_[_править_]">Формулы Пи [ править ]</span><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=J-%D0%B8%D0%BD%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82&veaction=edit&section=11" title="Редактировать раздел «Формулы Пи [ править ]»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>править</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=J-%D0%B8%D0%BD%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82&action=edit&section=11" title="Редактировать код раздела «Формулы Пи [ править ]»"><span>править код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></h2>
<p>Братья Чудновские нашли в 1987 году
</p>
<dl><dd></dd></dl>
<p>доказательство которого использует тот факт, что
</p>
<dl><dd></dd></dl>
<p>Подобные формулы см. в серии Рамануджана-Сато .
</p>
<h2><span id=".D0.A1.D0.BF.D0.B5.D1.86.D0.B8.D0.B0.D0.BB.D1.8C.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D0.B7.D0.BD.D0.B0.D1.87.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D1.8F_.5B_.D0.BF.D1.80.D0.B0.D0.B2.D0.B8.D1.82.D1.8C_.5D"></span><span class="mw-headline" id="Специальные_значения_[_править_]">Специальные значения [ править ]</span><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=J-%D0%B8%D0%BD%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82&veaction=edit&section=12" title="Редактировать раздел «Специальные значения [ править ]»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>править</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=J-%D0%B8%D0%BD%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82&action=edit&section=12" title="Редактировать код раздела «Специальные значения [ править ]»"><span>править код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></h2>
<p>j <i>-</i> инвариант исчезает в «угле» фундаментальной области :
</p>
<dl><dd></dd></dl>
<p>Вот еще несколько специальных значений <sup>, <i>заданных</i> в</sup> альтернативных обозначениях <i>J</i> ( <i>τ</i> ) ≡1/1728 г. <i>j</i> ( <i>τ</i> ) , первые пять хорошо известны:
</p>
<dl><dd></dd></dl>
<h2><span id=".D0.9D.D0.B5.D1.81.D0.BF.D0.BE.D1.81.D0.BE.D0.B1.D0.BD.D0.BE.D1.81.D1.82.D1.8C_.D0.BA.D0.BB.D0.B0.D1.81.D1.81.D0.B8.D1.84.D0.B8.D1.86.D0.B8.D1.80.D0.BE.D0.B2.D0.B0.D1.82.D1.8C_.D1.8D.D0.BB.D0.BB.D0.B8.D0.BF.D1.82.D0.B8.D1.87.D0.B5.D1.81.D0.BA.D0.B8.D0.B5_.D0.BA.D1.80.D0.B8.D0.B2.D1.8B.D0.B5_.D0.BF.D0.BE_.D0.B4.D1.80.D1.83.D0.B3.D0.B8.D0.BC_.D0.BF.D0.BE.D0.BB.D1.8F.D0.BC_.5B_.D0.BF.D1.80.D0.B0.D0.B2.D0.B8.D1.82.D1.8C_.5D"></span><span class="mw-headline" id="Неспособность_классифицировать_эллиптические_кривые_по_другим_полям_[_править_]">Неспособность классифицировать эллиптические кривые по другим полям [ править ]</span><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=J-%D0%B8%D0%BD%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82&veaction=edit&section=13" title="Редактировать раздел «Неспособность классифицировать эллиптические кривые по другим полям [ править ]»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>править</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=J-%D0%B8%D0%BD%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82&action=edit&section=13" title="Редактировать код раздела «Неспособность классифицировать эллиптические кривые по другим полям [ править ]»"><span>править код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></h2><p>
The -инвариант чувствителен только к классам изоморфизма эллиптических кривых над комплексными числами или, в более общем смысле, к алгебраически замкнутому полю . Над другими полями существуют примеры эллиптических кривых, у которых-инварианты одинаковы, но неизоморфны. Например, пусть— эллиптические кривые, соответствующие полиномам</p><blockquote></blockquote><p>оба имеют-инвариант. Тогда рациональные точкиможно вычислить как:</p><blockquote></blockquote><p>сРациональных решений не существует. Это можно показать с помощью формулы Кардано , чтобы показать, что в этом случае решения задачивсе иррациональны. С другой стороны, на множестве точек</p><blockquote></blockquote><p>уравнение длястановится. Деление наустранитьрешения квадратичная формула дает рациональные решения:</p><blockquote></blockquote><p>Если рассматривать эти кривые, существует изоморфизмотправка</p><blockquote></blockquote></div>' |