Двойственное пространство

Сопряжённое пространство или двойственное пространство — пространство линейных функционалов на данном линейном пространстве.

Определение

Пространство всех непрерывных линейных функционалов, определённых на линейном пространстве $E$, также образует линейное пространство. Это пространство называется сопряжённым к $E$, оно обычно обозначается $E^{*}$.

В случае, когда пространство $E$ конечномерное (рассматриваемом обычно в линейной алгебре), все линейные функционалы автоматически являются непрерывными, и сопряжённое пространство $E^{*}$ состоит просто из всех линейных функционалов (функций) на $E$. В случае, когда пространство $E$ бесконечномерное (рассматриваемом обычно в функциональном анализе), условие непрерывности существенно.

В тензорном исчислении применяется обозначение $x^{k}$ для элементов $E$ (верхний, или контравариантный индекс) и $x_{k}$ для элементов $E^{*}$ (нижний, или ковариантный индекс).

Свойства

Конечномерные пространства

• Сопряжённое пространство $E^{*}$ имеет ту же размерность, что и пространство $E$ над полем $F$. Следовательно, пространства $E$ и $E^{*}$ изоморфны.
• Каждому базису $e^{1},\ldots ,e^{n}$ пространства $E$ можно поставить в соответствие так называемый двойственный (или взаимный) базис $e_{1},\ldots ,e_{n}$ пространства $E^{*}$, где функционал $e_{i}\,$ — проектор на вектор $\,e^{i}$:

$e_{i}(x)=e_{i}(\alpha _{1}e^{1}+\ldots +\alpha _{n}e^{n})=\alpha _{i},\quad \forall x\in E.$

• Если пространство $E$ евклидово, то есть на нём определено скалярное произведение, то между $E$ и $E^{*}$ существует так называемый канонический изоморфизм, определённый соотношением

$v\in E\mapsto f\in E^{*},\quad f(x)=\langle x,v\rangle ,\ \forall x\in E.$

• Второе сопряжённое пространство $E^{**}$ изоморфно $E$. Более того, существует канонический изоморфизм между $E$ и $E^{**}$ (при этом не предполагается, что пространство $E$ евклидово), определённый соотношением

$x\in E\mapsto z\in E^{**},\quad z(f)=f(x),\ \forall x\in E,\ \forall f\in E^{*}.$

• Определенный выше канонический изоморфизм $E\to E^{**}$ показывает, что пространства $E$ и $E^{*}$ играют симметричную роль: каждое из них является сопряженным к другому. Для того, чтобы выделить эту симметрию, для $x\in E,\ f\in E^{*}$ часто пишут $f(x)=(x,f)$ подобно записи скалярного произведения.

Бесконечномерные пространства

• Если пространство $E$ гильбертово, то по теореме Рисса существует изоморфизм между $E$ и $E^{*}$, причём, аналогично конечномерному случаю, каждый линейный ограниченный функционал может быть представлен через скалярное произведение с помощью некоторого элемента пространства $E$.

Вариации и обобщения

• Термин сопряжённое пространство может иметь иное значение для линейных пространств над полем комплексных чисел: пространство ${\bar {E}}$, совпадающее с $E$ как вещественное линейное пространство, но с другой структурой умножения на комплексные числа:

  ${\bar {c}}{\bar {x}}={\overline {cx}}$

• При наличии в пространстве эрмитовой метрики (например, в гильбертовом пространстве) линейно-сопряжённое и комплексно-сопряжённое пространства совпадают.