Теорема представлений Риса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Теорема представлений Рисса»)
Перейти к: навигация, поиск

Теорема представлений Риса (также теорема Риса — Фреше) — утверждение функционального анализа, согласно которому каждый линейный ограниченный функционал в гильбертовом пространстве может быть представлен через скалярное произведение с помощью некоторого элемента. Названа в честь венгерского математика Фридьеша Риса.

Формулировка[править | править вики-текст]

Пусть существуют гильбертово пространство H и линейный ограниченный функционал f \in H' в пространстве H. Тогда существует единственный элемент y пространства H, такой, что для произвольного x \in H выполняется f(x)=\langle y,x\rangle. Кроме того, выполняется равенство: \|y\|=\|f\|.

Доказательство[править | править вики-текст]

\ker(f) ядро линейного функционала является векторным подпространством H.

Существование y[править | править вики-текст]

Если f\equiv 0, то достаточно взять y=0. Предположим, что f\ne 0. Тогда \ker(f)\ne H, и, следовательно, ортогональное дополнение \ker(f)^\bot ядра f не равно \{0\}. Выберем произвольный ненулевой вектор b \in \ker(f)^\bot \setminus \big\{0\big\}. Положим y = \tfrac{f(b)}{\|b\|^2}b. Мы покажем, что f(x) = \langle y, x\rangle для всех x \in H. Рассмотрим вектор p_x=x-\tfrac{f(x)}{f(b)}b. Заметим, что f(p_x) = f(x)-\tfrac{f(x)}{f(b)}f(b) = 0, и, таким образом, p_x \in \ker(f) . Поскольку b \in \ker(f)^\bot, то \langle b,p_x\rangle = 0. Следовательно,

\langle b, p_x \rangle =\Big\langle b, x-{f(x) \over f(b)}b \Big\rangle = \langle b, x\rangle - {f(x) \over f(b)} \| b \|^2 = 0 .

Отсюда f(x) = \langle b, x\rangle \tfrac{f(b)}{\|b\|^2} и f(x) = \langle y, x \rangle .

Единственность y[править | править вики-текст]

Предположим, что y и z элементы H удовлетворяют f(x) = \langle y, x \rangle = \langle z, x \rangle.

Это означает, что для всех x \in H справедливо равенство \langle y-z, x \rangle = 0, в частности \langle y-z, y-z \rangle = \|y-z\|^2 = 0, откуда и получается равенство y = z.

Равенство норм[править | править вики-текст]

Для доказательства \|y\|=\|f\| сперва из неравенства Коши-Буняковского имеем: f(x)=\langle y,x\rangle \leq \|y\|\|x\|. Отсюда, согласно определению нормы функционала, имеем: \|f\|\leq\|y\|. Кроме того, \langle y, y \rangle = f(y) \leq \|y\|\|f\|, откуда \|y\|\leq\|f\|. Объединяя два неравенства, получаем \|y\|=\|f\|.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]