Теорема представлений Риса

Теорема представлений Риса (также теорема Риса — Фреше) — утверждение функционального анализа, согласно которому каждый линейный ограниченный функционал в гильбертовом пространстве может быть представлен через скалярное произведение с помощью некоторого элемента. Названа в честь венгерского математика Фридьеша Риса.

Формулировка

Пусть существуют гильбертово пространство $H$$H$ и линейный ограниченный функционал $f\in H'$$f\in H'$ в пространстве $H$$H$. Тогда существует единственный элемент $y$$y$ пространства $H$$H$, такой, что для произвольного $x\in H$$x\in H$ выполняется $f(x)=\langle y,x\rangle$$f(x)=\langle y,x\rangle$. Кроме того, выполняется равенство: $\|y\|=\|f\|$$\|y\|=\|f\|$.

Доказательство

$\ker(f)$$\ker(f)$ ядро линейного функционала является векторным подпространством $H$$H$.

Существование $y$$y$

Если $f\equiv 0$$f\equiv 0$, то достаточно взять $y=0$$y=0$. Предположим, что $f\neq 0$$f\neq 0$. Тогда $\ker(f)\neq H$$\ker(f)\neq H$, и, следовательно, ортогональное дополнение $\ker(f)^{\bot }$$\ker(f)^{\bot }$ ядра $f$$f$ не равно $\{0\}$$\{0\}$. Выберем произвольный ненулевой вектор $b\in \ker(f)^{\bot }\setminus {\big \{}0{\big \}}$$b\in \ker(f)^{\bot }\setminus {\big \{}0{\big \}}$. Положим $y={\tfrac {f(b)}{\|b\|^{2}}}b$$y={\tfrac {f(b)}{\|b\|^{2}}}b$. Мы покажем, что $f(x)=\langle y,x\rangle$$f(x)=\langle y,x\rangle$ для всех $x\in H$$x\in H$. Рассмотрим вектор $p_{x}=x-{\tfrac {f(x)}{f(b)}}b$$p_{x}=x-{\tfrac {f(x)}{f(b)}}b$. Заметим, что $f(p_{x})=f(x)-{\tfrac {f(x)}{f(b)}}f(b)=0$$f(p_{x})=f(x)-{\tfrac {f(x)}{f(b)}}f(b)=0$, и, таким образом, $p_{x}\in \ker(f)$$p_{x}\in \ker(f)$ . Поскольку $b\in \ker(f)^{\bot }$$b\in \ker(f)^{\bot }$, то $\langle b,p_{x}\rangle =0$$\langle b,p_{x}\rangle =0$. Следовательно,

$\langle b,p_{x}\rangle ={\Big \langle }b,x-{f(x) \over f(b)}b{\Big \rangle }=\langle b,x\rangle -{f(x) \over f(b)}\|b\|^{2}=0$$\langle b,p_{x}\rangle ={\Big \langle }b,x-{f(x) \over f(b)}b{\Big \rangle }=\langle b,x\rangle -{f(x) \over f(b)}\|b\|^{2}=0$.

Отсюда $f(x)=\langle b,x\rangle {\tfrac {f(b)}{\|b\|^{2}}}$$f(x)=\langle b,x\rangle {\tfrac {f(b)}{\|b\|^{2}}}$ и $f(x)=\langle y,x\rangle$$f(x)=\langle y,x\rangle$.

Единственность $y$$y$

Предположим, что $y$$y$ и $z$$z$ элементы $H$$H$ удовлетворяют $f(x)=\langle y,x\rangle =\langle z,x\rangle$$f(x)=\langle y,x\rangle =\langle z,x\rangle$.

Это означает, что для всех $x\in H$$x\in H$ справедливо равенство $\langle y-z,x\rangle =0$$\langle y-z,x\rangle =0$, в частности $\langle y-z,y-z\rangle =\|y-z\|^{2}=0$$\langle y-z,y-z\rangle =\|y-z\|^{2}=0$, откуда и получается равенство $y=z$$y=z$.

Равенство норм

Для доказательства $\|y\|=\|f\|$$\|y\|=\|f\|$ сперва из неравенства Коши-Буняковского имеем: $f(x)=\langle y,x\rangle \leq \|y\|\|x\|$$f(x)=\langle y,x\rangle \leq \|y\|\|x\|$. Отсюда, согласно определению нормы функционала, имеем: $\|f\|\leq \|y\|.$$\|f\|\leq \|y\|.$ Кроме того, $\langle y,y\rangle =f(y)\leq \|y\|\|f\|$$\langle y,y\rangle =f(y)\leq \|y\|\|f\|$, откуда $\|y\|\leq \|f\|$$\|y\|\leq \|f\|$. Объединяя два неравенства, получаем $\|y\|=\|f\|$$\|y\|=\|f\|$.

См. также

• Теорема Лакса — Мильграма