Теорема представлений Риса (также теорема Риса — Фреше ) — утверждение функционального анализа , согласно которому каждый линейный ограниченный функционал в гильбертовом пространстве может быть представлен через скалярное произведение с помощью некоторого элемента. Названа в честь венгерского математика Фридьеша Риса .
Пусть существуют гильбертово пространство
H
{\displaystyle H}
и линейный ограниченный функционал
f
∈
H
′
{\displaystyle f\in H'}
в пространстве
H
{\displaystyle H}
. Тогда существует единственный элемент
y
{\displaystyle y}
пространства
H
{\displaystyle H}
, такой, что для произвольного
x
∈
H
{\displaystyle x\in H}
выполняется
f
(
x
)
=
⟨
y
,
x
⟩
{\displaystyle f(x)=\langle y,x\rangle }
. Кроме того, выполняется равенство:
‖
y
‖
=
‖
f
‖
{\displaystyle \|y\|=\|f\|}
.
ker
(
f
)
{\displaystyle \ker(f)}
ядро линейного функционала является векторным подпространством
H
{\displaystyle H}
.
Существование
y
{\displaystyle y}
[ править | править код ]
Если
f
≡
0
{\displaystyle f\equiv 0}
, то достаточно взять
y
=
0
{\displaystyle y=0}
. Предположим, что
f
≠
0
{\displaystyle f\neq 0}
. Тогда
ker
(
f
)
≠
H
{\displaystyle \ker(f)\neq H}
, и, следовательно, ортогональное дополнение
ker
(
f
)
⊥
{\displaystyle \ker(f)^{\bot }}
ядра
f
{\displaystyle f}
не равно
{
0
}
{\displaystyle \{0\}}
. Выберем произвольный ненулевой вектор
b
∈
ker
(
f
)
⊥
∖
{
0
}
{\displaystyle b\in \ker(f)^{\bot }\setminus {\big \{}0{\big \}}}
. Положим
y
=
f
(
b
)
‖
b
‖
2
b
{\displaystyle y={\tfrac {f(b)}{\|b\|^{2}}}b}
. Мы покажем, что
f
(
x
)
=
⟨
y
,
x
⟩
{\displaystyle f(x)=\langle y,x\rangle }
для всех
x
∈
H
{\displaystyle x\in H}
. Рассмотрим вектор
p
x
=
x
−
f
(
x
)
f
(
b
)
b
{\displaystyle p_{x}=x-{\tfrac {f(x)}{f(b)}}b}
. Заметим, что
f
(
p
x
)
=
f
(
x
)
−
f
(
x
)
f
(
b
)
f
(
b
)
=
0
{\displaystyle f(p_{x})=f(x)-{\tfrac {f(x)}{f(b)}}f(b)=0}
, и, таким образом,
p
x
∈
ker
(
f
)
{\displaystyle p_{x}\in \ker(f)}
. Поскольку
b
∈
ker
(
f
)
⊥
{\displaystyle b\in \ker(f)^{\bot }}
, то
⟨
b
,
p
x
⟩
=
0
{\displaystyle \langle b,p_{x}\rangle =0}
. Следовательно,
⟨
b
,
p
x
⟩
=
⟨
b
,
x
−
f
(
x
)
f
(
b
)
b
⟩
=
⟨
b
,
x
⟩
−
f
(
x
)
f
(
b
)
‖
b
‖
2
=
0
{\displaystyle \langle b,p_{x}\rangle ={\Big \langle }b,x-{f(x) \over f(b)}b{\Big \rangle }=\langle b,x\rangle -{f(x) \over f(b)}\|b\|^{2}=0}
.
Отсюда
f
(
x
)
=
⟨
b
,
x
⟩
f
(
b
)
‖
b
‖
2
{\displaystyle f(x)=\langle b,x\rangle {\tfrac {f(b)}{\|b\|^{2}}}}
и
f
(
x
)
=
⟨
y
,
x
⟩
{\displaystyle f(x)=\langle y,x\rangle }
.
Единственность
y
{\displaystyle y}
[ править | править код ]
Предположим, что
y
{\displaystyle y}
и
z
{\displaystyle z}
элементы
H
{\displaystyle H}
удовлетворяют
f
(
x
)
=
⟨
y
,
x
⟩
=
⟨
z
,
x
⟩
{\displaystyle f(x)=\langle y,x\rangle =\langle z,x\rangle }
.
Это означает, что для всех
x
∈
H
{\displaystyle x\in H}
справедливо равенство
⟨
y
−
z
,
x
⟩
=
0
{\displaystyle \langle y-z,x\rangle =0}
, в частности
⟨
y
−
z
,
y
−
z
⟩
=
‖
y
−
z
‖
2
=
0
{\displaystyle \langle y-z,y-z\rangle =\|y-z\|^{2}=0}
, откуда и получается равенство
y
=
z
{\displaystyle y=z}
.
Для доказательства
‖
y
‖
=
‖
f
‖
{\displaystyle \|y\|=\|f\|}
сперва из неравенства Коши-Буняковского имеем:
f
(
x
)
=
⟨
y
,
x
⟩
≤
‖
y
‖
‖
x
‖
{\displaystyle f(x)=\langle y,x\rangle \leq \|y\|\|x\|}
. Отсюда, согласно определению нормы функционала, имеем:
‖
f
‖
≤
‖
y
‖
.
{\displaystyle \|f\|\leq \|y\|.}
Кроме того,
⟨
y
,
y
⟩
=
f
(
y
)
≤
‖
y
‖
‖
f
‖
{\displaystyle \langle y,y\rangle =f(y)\leq \|y\|\|f\|}
, откуда
‖
y
‖
≤
‖
f
‖
{\displaystyle \|y\|\leq \|f\|}
. Объединяя два неравенства, получаем
‖
y
‖
=
‖
f
‖
{\displaystyle \|y\|=\|f\|}
.