Просмотр кода страницы Число Ферма

'''Числа Ферма́''' — числа вида <math>F_n=2^{2^n}+1</math>, где <math>n\geqslant 0</math> ({{OEIS|A000215}}).

При <math>n\in\{0,1,2,3,4\} </math> числа Ферма [[Простое число|простые]] и равны <math>\ 3,\, 5,\, 17,\, 257,\, 65537;
</math>. 

Пока других простых чисел Ферма не обнаружено, и неизвестно, существуют ли простые числа при {{Число|''n'' > 4}} или же все прочие числа Ферма — [[Составное число|составные]].

== История ==
Изучение чисел такого вида начал [[Ферма, Пьер|Ферма]], который выдвинул [[гипотеза|гипотезу]], что все они [[простые числа|простые]]. Однако эта гипотеза была опровергнута [[Эйлер, Леонард|Эйлером]] в [[1732 год в науке|1732 году]], когда тот нашёл [[факторизация|разложение]] числа <math>F_5</math> на простые сомножители:
: <math> F_5 = 4294967297 = 641 \cdot 6700417</math>.

Во времена Ферма считалось верным утверждение, что если <math>2^n \equiv 2~(\text{mod}~n)</math>, то <math>n</math> — простое, это утверждение оказалось неверным (был найден контрпример: <math>n=341</math>), по мнению [[Банахевич, Тадеуш|Тадеуша Банахевича]], именно это могло побудить Ферма выдвинуть свою гипотезу, так как утверждение <math>2^{F_n} \equiv 2~(\text{mod}~F_n)</math> верно при всех <math>n</math><ref>{{книга|автор=[[Серпинский, Вацлав|В. Серпинский]]|заглавие=250 задач по теории чисел|издательство=Просвещение|год=1968|страница=39|ссылка=http://ilib.mccme.ru/djvu/serp-250-tch.htm|archive-date=2011-06-30|archive-url=https://web.archive.org/web/20110630224155/http://ilib.mccme.ru/djvu/serp-250-tch.htm}}</ref>.

== Простые числа Ферма ==
На 2024 год известны 5 простых чисел Ферма — при <math>n \in \{0,1,2,3,4\}\colon</math><ref>{{OEIS|A019434}}</ref>

:<math>F_0=2^{2^0}+1=2^1+1 = 3;</math>
:<math>F_1=2^{2^1}+1=2^2+1 = 5;</math>
:<math>F_2=2^{2^2}+1=2^4+1 = 17;</math>
:<math>F_3=2^{2^3}+1=2^8+1 = 257;</math>
:<math>F_4=2^{2^4}+1=2^{16}+1 = 65537;</math>

Существование других простых чисел Ферма является [[Открытые проблемы в теории чисел|открытой проблемой]]. Известно, что <math>F_n</math> являются составными при <math>5 \leqslant n \leqslant 32</math>, при том, что до 5 все числа Ферма простые.

== Свойства ==
* [[Правильный многоугольник|Правильный <math>n</math>-угольник]] можно [[построение с помощью циркуля и линейки|построить с помощью циркуля и линейки]] тогда и только тогда, когда <math>n=2^r\cdot p_1\cdot p_2\cdot\ldots\cdot p_k</math> (<math>r=0, 1, 2, ...</math>), где <math>p_1,\dots,p_k</math> — различные простые числа Ферма ([[теорема Гаусса — Ванцеля]]).
* Среди чисел вида <math>2^n+1</math> простыми могут быть только числа Ферма (то есть число ''n'' обязано быть степенью 2). Действительно, если у ''n'' есть нечётный [[делитель]] <math>d>1</math> и <math>n/d=m</math>, то
: <math>2^n+1=(2^m+1)(1-2^m+2^{2m}-\cdots+2^{n-m}),</math>
: и поэтому <math>2^n+1</math> не является простым.
* Простоту некоторых чисел Ферма можно эффективно установить с помощью [[тест Пепина|теста Пепина]]. Однако числа Ферма сильно растут, и этот тест был удачно применён только для 8 чисел, составность которых ранее не была доказана. По мнению Майера, Пападопулоса и [[Ричард Крэндалл|Крэндалла]], чтобы выполнить тесты Пепина на последующих числах Ферма, понадобится несколько десятилетий<ref>Richard E. Crandall, Ernst W. Mayer & Jason S. Papadopoulos (2003), [http://www.ams.org/journals/mcom/2003-72-243/S0025-5718-02-01479-5/S0025-5718-02-01479-5.pdf The twenty-fourth Fermat number is composite] {{Wayback|url=http://www.ams.org/journals/mcom/2003-72-243/S0025-5718-02-01479-5/S0025-5718-02-01479-5.pdf |date=20141008214703 }}{{ref-en}}</ref>.
* [[Десятичная система счисления|Десятичная запись]] чисел Ферма, больших 5, оканчивается на 17, 37, 57 или 97.
* Каждый делитель числа <math>F_n</math> при <math>n>2</math> имеет вид <math>k \cdot 2^{n+2} + 1</math> ([[Эйлер, Леонард|Эйлер]], [[Люка, Франсуа Эдуард Анатоль|Люка]], 1878).
* Числа Ферма растут очень быстро: 9-е число больше [[гугол]]а, а 334-е число больше [[гуголплекс]]а.

== Разложение на простые ==
Всего по состоянию на 2024 год найдено 370 простых делителя чисел Ферма. Для 325 чисел Ферма доказано, что они составные, при этом для 2 из них (''F''<sub>20</sub> и ''F''<sub>24</sub>) до сих пор неизвестно ни одного делителя<ref>{{Cite web |url=http://www.prothsearch.com/fermat.html#Summary |title=Fermat factoring status<!-- Заголовок добавлен ботом --> |access-date=2019-04-16 |archive-date=2016-02-10 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160210152415/http://www.prothsearch.net/fermat.html#Summary |url-status=live }}</ref>. Несколько новых делителей чисел Ферма находят каждый год.

Ниже приведено разложение чисел Ферма на простые сомножители, при <math>n \in \{5,6,7,8,9\}\colon</math>
: <math>F_5=2^{2^5}+1=2^{32}+1 = 4294967297 = (5 \cdot 2^{5+2}+1) \cdot (52347 \cdot 2^{5+2}+1) = 641 \cdot 6700417;</math>
: <math>F_6=2^{2^6}+1=2^{64}+1 = 18446744073709551617 = (1071 \cdot 2^{6+2}+1) \cdot (262814145745 \cdot 2^{6+2}+1) = 274177 \cdot 67280421310721;</math>
: <math>\begin{array}{lll}F_7=2^{2^7}+1=2^{128}+1 & = & 340282366920938463463374607431768211457 =\\ & = & (116\,503\,103\,764\,643 \cdot 2^{7+2}+1) \cdot (11\,141\,971\,095\,088\,142\,685 \cdot 2^{7+2}+1) =\\ & = & 59\,649\,589\,127\,497\,217 \cdot 5\,704\,689\,200\,685\,129\,054\,721;\end{array}</math>
: <math>\begin{array}{lll}F_8=2^{2^8}+1=2^{256}+1 & = & 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937=\\ & = & (3853149761 \cdot 157 \cdot 2^{8+3}+1) \cdot (1057372046781162536274034354686893329625329 \cdot 31618624099079 \cdot 13 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 2^{8+3}+1) =\\ & = & 1238926361552897 \cdot 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321;\end{array}</math>
: <math>\begin{array}{lll}F_9=2^{2^9}+1=2^{512}+1 & = & 13407807929942597099574024998205846127479365820592393377723561443721764030073546976801874298166903427690031858186486050853753882811946569946433649006084097=\\ & = & (37 \cdot 2^{9+7}+1) \cdot   (43226490359557706629 \cdot 1143290228161321 \cdot 82488781 \cdot 47 \cdot 19 \cdot 2^{9+2}+1) \times \\ && \times (16975143302271505426897585653131126520182328037821729720833840187223 \cdot 17338437577121 \cdot 40644377 \cdot 26813 \cdot 1129 \cdot 2^{9+2}+1) =\\ & = & 2424833 \cdot 7455602825647884208337395736200454918783366342657  \cdot 741640062627530801524787141901937474059940781097519023905821316144415759504705008092818711693940737.\end{array}</math>

== Обобщённые числа Ферма ==
'''''Обобщённое число Ферма''''' — число вида <math>a^{2^n} + b^{2^n}</math>. Числа Ферма являются их частным случаем для <math>a = 2</math> и <math>b = 1.</math>

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
{{refbegin|2}}
* {{Citation |last=Golomb |first=S. W. |date=January 1, 1963 |title=On the sum of the reciprocals of the Fermat numbers and related irrationalities |journal=Canadian Journal of Mathematics |volume=15 |issue= |pages=475–478 |doi=10.4153/CJM-1963-051-0 }}
* {{Citation |last=Grytczuk |first=A. |last2=Luca |first2=F. |last3=Wójtowicz |first3=M. |lastauthoramp=yes |year=2001 |title=Another note on the greatest prime factors of Fermat numbers |journal=Southeast Asian Bulletin of Mathematics |volume=25 |issue=1 |pages=111–115 |doi=10.1007/s10012-001-0111-4 }}
* {{citation |last=Guy |first=Richard K. |authorlink=Richard K. Guy |title=Unsolved Problems in Number Theory |year=2004 |edition=3rd |publisher=[[Springer Verlag]] |series=Problem Books in Mathematics |volume=1 |location=New York |isbn=978-0-387-20860-2 |pages=A3, A12, B21 |url=https://www.springer.com/mathematics/numbers/book/978-0-387-20860-2?otherVersion=978-0-387-26677-0 }}
* {{citation |last=Křížek |first=Michal |last2=Luca |first2=Florian |last3=Somer |first3=Lawrence |lastauthoramp=yes |chapter= |title=17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry |year=2001 |series=CMS books in mathematics |volume=10 |publisher=Springer |location=New York |isbn=978-0-387-95332-8 |pages= |url=https://www.springer.com/mathematics/numbers/book/978-0-387-95332-8 }} — This book contains an extensive list of references.
* {{Citation |last=Křížek |first=Michal |last2=Luca |first2=Florian |last3=Somer |first3=Lawrence |lastauthoramp=yes |year=2002 |title=On the convergence of series of reciprocals of primes related to the Fermat numbers |journal=Journal of Number Theory |volume=97 |issue=1 |pages=95–112 |doi=10.1006/jnth.2002.2782 |url=http://www.sciencedirect.com/science/journal/0022314X/97/1 |format=PDF }}
* {{Citation |last=Luca |first=Florian |year=2000 |title=The anti-social Fermat number |journal=American Mathematical Monthly |volume=107 |issue=2 |pages=171–173 |doi=10.2307/2589441 |url=http://www.maa.org/publications/periodicals/american-mathematical-monthly/american-mathematical-monthly-february-2000 |jstor=2589441 }}
* {{Citation |last=Ribenboim |first=Paulo |author-link=Paulo Ribenboim |year=1996 |title=The New Book of Prime Number Records |publisher=Springer |location=New York |edition=3rd |isbn=978-0-387-94457-9 |url=https://www.springer.com/mathematics/numbers/book/978-0-387-94457-9 }}
* {{Citation |last=Robinson |first=Raphael M. |title=Mersenne and Fermat Numbers |journal=Proceedings of the American Mathematical Society |volume=5 |issue=5 |year=1954 |pages=842–846 |doi=10.2307/2031878 |jstor=2031878 }}
* {{citation |last=Yabuta |first=M. |journal=Fibonacci Quarterly |pages=439–443 |title=A simple proof of Carmichael's theorem on primitive divisors |url=http://www.fq.math.ca/Scanned/39-5/yabuta.pdf |volume=39 |year=2001 }}
{{refend}}

== Ссылки ==
* ''Леонид Дурман.'' Гонки по вертикали. Числа Ферма от Эйлера до наших дней: [http://old.computerra.ru/197386/ 1], [http://old.computerra.ru/197422/ 2], [http://old.computerra.ru/197455/ 3] // [[Компьютерра]], 2001, № 393—395.
* [http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=8 TOP-20 Наибольших делителей чисел Ферма]{{ref-en}}
* ''Леонид Дурман'', ''Luigi Morelli.'' [http://www.fermatsearch.org/ Координирующий проект FERMATSEARCH]{{ref-en}} {{ref-it}} {{ref-ru}}
* ''Wilfrid Keller.'' [http://www.prothsearch.com/fermat.html Prime Factors of Fermat Numbers]{{ref-en}}

{{Внешние ссылки}}

[[Категория:Классы простых чисел]]
[[Категория:Теория чисел]]
[[Категория:Целочисленные последовательности]]