Число Ферма

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Числа Ферма́ — числа вида , где (последовательность A000215 в OEIS).

При числа Ферма простые и равны . Пока других простых чисел Ферма не обнаружено, и неизвестно, существуют ли они при n > 4 или же все прочие числа Ферма — составные.

История[править | править код]

Изучение чисел такого вида начал Ферма, который выдвинул гипотезу, что все они простые. Однако эта гипотеза была опровергнута Эйлером в 1732 году, когда тот нашёл разложение числа на простые сомножители:

.

Во времена Ферма считалось верным утверждение, что если , то  — простое[источник не указан 1664 дня]. Это утверждение оказалось неверным (контрпример: ), однако, по мнению Тадеуша Банахевича, именно оно могло побудить Ферма выдвинуть свою гипотезу, так как утверждение верно при всех [1].

Простые числа Ферма[править | править код]

На 2021 год известны только 5 простых чисел Ферма — при [2]

Существование других простых чисел Ферма является открытой проблемой. Известно, что являются составными при

Свойства[править | править код]

и поэтому не является простым.
  • Простоту некоторых чисел Ферма можно эффективно установить с помощью теста Пепина. Однако числа Ферма сильно растут, и этот тест был удачно применён только для 8 чисел, составность которых ранее не была доказана. По мнению Майера, Пападопулоса и Крэндалла, чтобы выполнить тесты Пепина на последующих числах Ферма, понадобится несколько десятилетий[3].
  • Десятичная запись чисел Ферма, больших 5, оканчивается на 17, 37, 57 или 97.
  • Каждый делитель числа при имеет вид (Эйлер, Люка, 1878).
  • Числа Ферма растут очень быстро: 9-е число больше гугола и 334-е число больше гуголплекса.

Разложение на простые[править | править код]

Всего по состоянию на март 2021 года найдено 358 простых делителя чисел Ферма. Для 314 чисел Ферма доказано, что они составные, при этом для 2 из них (F20 и F24) до сих пор неизвестно ни одного делителя[4]. Несколько новых делителей чисел Ферма находят каждый год.

Ниже приведено разложение чисел Ферма на простые сомножители, при

Обобщённые числа Ферма[править | править код]

Обобщённое число Ферма — число вида . Числа Ферма являются их частным случаем для и

Примечания[править | править код]

  1. В. Серпинский. 250 задач по теории чисел. — Просвещение, 1968.
  2. последовательность A019434 в OEIS
  3. Richard E. Crandall, Ernst W. Mayer & Jason S. Papadopoulos (2003), The twenty-fourth Fermat number is composite (англ.)
  4. Fermat factoring status

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]