Число Ферма

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Число Ферма́ — число вида , где .

Числа Ферма для образуют последовательность[1]: .

История[править | править код]

Изучение чисел такого вида начал Ферма, который выдвинул гипотезу, что все они простые. Однако эта гипотеза была опровергнута Эйлером в 1732 году, нашедшим разложение числа на простые сомножители:

.

Во времена Ферма считалось верным утверждение, что если , то  — простое[источник не указан 959 дней]. Это утверждение оказалось неверным (контрпример: ), однако, по мнению Тадеуша Банахевича, именно оно могло побудить Ферма выдвинуть свою гипотезу, так как утверждение верно при всех [2].

Свойства[править | править код]

и поэтому не является простым.
  • Простоту чисел Ферма можно эффективно установить с помощью теста Пепина.
  • На 2019 год известно лишь 5 простых чисел Ферма: 3, 5, 17, 257, 65537[3]. Существование других простых чисел Ферма является открытой проблемой.
  • Известно, что являются составными при
  • Десятичная запись чисел Ферма, больших 5, оканчивается на 17, 37, 57 или 97.
  • Каждый делитель числа при имеет вид: (Эйлер, Люка, 1878).
  • Числа Ферма растут очень быстро: 9-е число больше гугола и 334-е число больше гуголплекса.

Простые числа Ферма[править | править код]

На 2019 известны только 5 простых чисел Ферма, при

,
,
,
,
.

Разложение на простые[править | править код]

Всего по состоянию на март 2019 года известно 349 разложений чисел Ферма на простые числа. Для 305 чисел Ферма доказано, что они составные, но их разложения на простые числа неизвестны[4]. Несколько новых разложений на простые числа чисел Ферма находят каждый год.

Ниже приведено разложение чисел Ферма на простые сомножители, при

Обобщённые числа Ферма[править | править код]

Обобщённое число Ферма — число вида . Числа Ферма являются обобщёнными числами Ферма для и .

Примечания[править | править код]

  1. последовательность A000215 в OEIS
  2. В. Серпинский. 250 задач по теории чисел. — Просвещение, 1968.
  3. последовательность A019434 в OEIS
  4. http://www.prothsearch.com/fermat.html#Summary

Ссылки[править | править код]