Соотношение Клеро

Соотношение Клеро — уравнение для геодезической на произвольной поверхности вращения. Легко выводится из сохранения энергии и момента импульса вокруг оси вращения. Названо в честь Алекси Клода Клеро.

Формулировка

Пусть $t\mapsto \gamma (t)$ есть геодезическая на поверхности вращения, $R(t)$ обозначает расстояние от оси вращения до $\gamma (t)$, а $\alpha (t)$ — угол между $\gamma '(t)$ и параллелью поверхности вращения, проходящей через данную точку. Тогда выражение

$R(t)\cdot \cos \alpha (t)$

постоянно. Верно и обратное утверждение: если для некоторой кривой $t\mapsto \gamma (t)$ это выражение постоянно, то $\gamma (t)$ — либо геодезическая, либо параллель.

Литература

• Манфредо П. до Кармо. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Ин­ститут компьютерных исследований, 2013. — ISBN 978-5-4344-0150-0.
• Ремизов А.О. Интеграл энергии и огибающие. Геодезические на поверхностях вращения. Матем. обр., 2025, № 3(115), 37–49.