Схема Эль-Гамаля

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Схема Эль-Гамаля (Elgamal) — криптосистема с открытым ключом, основанная на трудности вычисления дискретных логарифмов в конечном поле. Криптосистема включает в себя алгоритм шифрования и алгоритм цифровой подписи. Схема Эль-Гамаля лежит в основе бывших стандартов электронной цифровой подписи в США (DSA) и России (ГОСТ Р 34.10-94).

Схема была предложена Тахером Эль-Гамалем в 1985 году.[1] Эль-Гамаль разработал один из вариантов алгоритма Диффи-Хеллмана. Он усовершенствовал систему Диффи-Хеллмана и получил два алгоритма, которые использовались для шифрования и для обеспечения аутентификации. В отличие от RSA алгоритм Эль-Гамаля не был запатентован и, поэтому, стал более дешевой альтернативой, так как не требовалась оплата взносов за лицензию. Считается, что алгоритм попадает под действие патента Диффи-Хеллмана.

Генерация ключей[править | править вики-текст]

  1. Генерируется случайное простое число .
  2. Выбирается целое число первообразный корень .
  3. Выбирается случайное целое число такое, что .
  4. Вычисляется .
  5. Открытым ключом является тройка , закрытым ключом — число .

Работа в режиме шифрования[править | править вики-текст]

Шифросистема Эль-Гамаля является фактически одним из способов выработки открытых ключей Диффи — Хеллмана. Шифрование по схеме Эль-Гамаля не следует путать с алгоритмом цифровой подписи по схеме Эль-Гамаля.

Шифрование[править | править вики-текст]

Сообщение должно быть меньше числа . Сообщение шифруется следующим образом:

  1. Выбирается сессионный ключ — случайное целое число такое, что
  2. Вычисляются числа и .
  3. Пара чисел является шифротекстом.

Нетрудно видеть, что длина шифротекста в схеме Эль-Гамаля длиннее исходного сообщения вдвое.

Расшифрование[править | править вики-текст]

Зная закрытый ключ , исходное сообщение можно вычислить из шифротекста по формуле:

При этом нетрудно проверить, что

и поэтому

.

Для практических вычислений больше подходит следующая формула:

Схема шифрования[править | править вики-текст]

Шифрование по схеме Эль-Гамаля

Пример[править | править вики-текст]

  • Шифрование
    1. Допустим, что нужно зашифровать сообщение .
    2. Произведем генерацию ключей:
      1. Пусть . Выберем - случайное целое число такое,что .
      2. Вычислим .
      3. Итак, открытым ключом является тройка ,а закрытым ключом - число .
    3. Выбираем случайное целое число такое, что 1 < k < (p − 1). Пусть .
    4. Вычисляем число .
    5. Вычисляем число .
    6. Полученная пара является шифротекстом.
  • Расшифрование
    1. Необходимо получить сообщение по известному шифротексту и закрытому ключу .
    2. Вычисляем M по формуле:
    3. Получили исходное сообщение .

Так как в схему Эль-Гамаля вводится случайная величина ,то шифр Эль-Гамаля можно назвать шифром многозначной замены. Из-за случайности выбора числа такую схему еще называют схемой вероятностного шифрования. Вероятностный характер шифрования является преимуществом для схемы Эль-Гамаля, так как у схем вероятностного шифрования наблюдается большая стойкость по сравнению со схемами с определенным процессом шифрования. Недостатком схемы шифрования Эль-Гамаля является удвоение длины зашифрованного текста по сравнению с начальным текстом. Для схемы вероятностного шифрования само сообщение и ключ не определяют шифротекст однозначно. В схеме Эль-Гамаля необходимо использовать различные значения случайной величины для шифровки различных сообщений и . Если использовать одинаковые , то для соответствующих шифротекстов и выполняется соотношение . Из этого выражения можно легко вычислить , если известно .

Работа в режиме подписи[править | править вики-текст]

Цифровая подпись служит для того чтобы можно было установить изменения данных и чтобы установить подлинность подписавшейся стороны. Получатель подписанного сообщения может использовать цифровую подпись для доказательства третьей стороне того, что подпись действительно сделана отправляющей стороной. При работе в режиме подписи предполагается наличие фиксированной хеш-функции , значения которой лежат в интервале .

Цифровая подпись по схеме Эль-Гамаля

Подпись сообщений[править | править вики-текст]

Для подписи сообщения выполняются следующие операции:

  1. Вычисляется дайджест сообщения : (Хеш функция может быть любая).
  2. Выбирается случайное число взаимно простое с и вычисляется
  3. Вычисляется число .
  4. Подписью сообщения является пара .

Проверка подписи[править | править вики-текст]

Зная открытый ключ , подпись сообщения проверяется следующим образом:

  1. Проверяется выполнимость условий: и . Если хотя бы одно из них не выполняется,то подпись считается неверной.
  2. Вычисляется дайджест
  3. Подпись считается верной, если выполняется сравнение:

Пример[править | править вики-текст]

  • Подпись сообщения.
    1. Допустим,что нужно подписать сообщение .
    2. Произведем генерацию ключей:
      1. Пусть переменные, которые известны некоторому сообществу. Секретный ключ — случайное целое число такое, что .
      2. Вычисляем открытый ключ : .
      3. Итак,открытым ключом является тройка .
    3. Теперь вычисляем хэш-функцию: .
    4. Выберем случайное число такое, что выполняется условие . Пусть .
    5. Вычисляем .
    6. Находим число . Такое существует, так как НОД(k,p-1)=1. Получим что .
    7. Итак, мы подписали сообщение: .
  • Проверка подлинности полученного сообщения.
    1. Вычисляем хэш-функцию: .
    2. Проверяем сравнение .
    3. Вычислим левую часть по модулю 23: .
    4. Вычислим правую часть по модулю 23: .
    5. Так как правая и левая части равны, то это означает что подпись верна.

Главным преимуществом схемы цифровой подписи Эль-Гамаля является возможность вырабатывать цифровые подписи для большого числа сообщений с использованием только одного секретного ключа. Чтобы злоумышленнику подделать подпись, ему нужно решить сложные математические задачи с нахождением логарифма в поле . Следует сделать несколько комментариев:
  • Случайное число должно сразу после вычисления подписи уничтожаться,так как если злоумышленник знает случайное число и саму подпись, то он легко может найти секретный ключ по формуле: и полностью подделать подпись.

Число должно быть случайным и не должно дублироваться для различных подписей, полученных при одинаковом значении секретного ключа.

  • Использование свертки объясняется тем,что это защищает подпись от перебора сообщений по известным злоумышленнику значениям подписи. Пример: если выбрать случайные числа ,удовлетворяющие условиям , НОД(j,p-1)=1 и предположить что

то легко удостовериться в том,что пара является верной цифровой подписью для сообщения .

  • Цифровая подпись Эль-Гамаля стала примером построения других подписей, схожих по своим свойствам. В их основе лежит выполнение сравнения: , в котором тройка принимает значения одной из перестановок ±r, ±s и ±m при каком-то выборе знаков. Например, исходная схема Эль-Гамаля получается при ,, .На таком принципе построения подписи сделаны стандарты цифровой подписи США и России. В американском стандарте DSS (Digital Signature Standard), используется значения , ,, а в Российском стандарте: , , .
  • Еще одним из преимуществ является возможность уменьшения длины подписи с помощью замены пары чисел на пару чисел ),где является каким-то простым делителем числа . При этом сравнение для проверки подписи по модулю нужно заменить на новое сравнение по модулю : . Так сделано в американском стандарте DSS (Digital Signature Standard).

Криптостойкость и особенности[править | править вики-текст]

В настоящее время криптосистемы с открытым ключом считаются наиболее перспективными. К ним относится и схема Эль-Гамаля, криптостойкость которой основана на вычислительной сложности проблемы дискретного логарифмирования, где по известным p, g и y требуется вычислить x, удовлетворяющий сравнению:

ГОСТ Р34.10-1994, принятый в 1994 году в Российской Федерации, регламентировавший процедуры формирования и проверки электронной цифровой подписи, был основан на схеме Эль-Гамаля. С 2001 года используется новый ГОСТ Р 34.10-2001, использующий арифметику эллиптических кривых, определенных над простыми полями Галуа. Существует большое количество алгоритмов, основанных на схеме Эль-Гамаля: это алгоритмы DSA, ECDSA, KCDSA, схема Шнорра.

Сравнение некоторых алгоритмов:

Алгоритм Ключ Назначение Криптостойкость, MIPS Примечания
RSA До 4096 бит Шифрование и подпись 2,7•1028 для ключа 1300 бит Основан на трудности задачи факторизации больших чисел; один из первых асимметричных алгоритмов. Включен во многие стандарты
ElGamal До 4096 бит Шифрование и подпись При одинаковой длине ключа криптостойкость равная RSA, т.е. 2,7•1028 для ключа 1300 бит Основан на трудной задаче вычисления дискретных логарифмов в конечном поле; позволяет быстро генерировать ключи без снижения стойкости. Используется в алгоритме цифровой подписи DSA-стандарта DSS
DSA До 1024 бит Только подписание Основан на трудности задачи дискретного логарифмирования в конечном поле; принят в качестве гос. стандарта США; применяется для секретных и несекретных коммуникаций; разработчиком является АНБ.
ECDSA До 4096 бит Шифрование и подпись Криптостойкость и скорость работы выше, чем у RSA Современное направление. Разрабатывается многими ведущими математиками

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Taher ElGamal (1985). «A Public-Key Cryptosystem and a Signature Scheme Based on Discrete Logarithms». IEEE Transactions on Information Theory 31 (4): 469-472. DOI:10.1109/TIT.1985.1057074.

Ссылки[править | править вики-текст]