Теорема Бернштейна о седловом графике

Теорема Бернштейна о седловом графике — классическая теорема о седловых поверхностях. Доказана Сергеем Натановичем Бернштейном.

Формулировка

Предположим график гладкой функции $f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ является строго седловой поверхностью. Тогда функция $f$ неограничена; то есть не существует константы $C$ такой, что $f(x,y)\leq C$ для любой $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$.

Замечания

• Утверждение теоремы неверно без предположения что поверхность является графиком. Пример полной седловой поверхности лежащей между двумя праллельными плоскостями можно найти среди поверхностей вращения.

• Существуют также седловые графики лежащие в верхнем полупространстве $z>0$; таков например график $z=\exp(x-y^{2})$.

Вариации и обобщения

• Если график гладкой ограниченной функции является нестрого седловым, то график является линейчатой поверхностью с параллельными образующими.