Седловая поверхность

Седло для верховой езды

Седловая поверхность (устаревшее название — антикластическая) — гладкая поверхность, все точки которой седловые, то есть имеют отрицательную гауссову кривизну.

Термин происходит от специфической формы поверхности, напоминающей седло для верховой езды, которое имеет изгибы вверх и вниз.

Определение

Поверхность $\Pi$ называется (строго) седловой, если для любой точки $p\in \Pi$ произведение главных кривизн $k_{1}(p){\cdot }k_{2}(p)$ неположительно (отрицательно).

Примеры

Гиперболический параболоид

Обезьянье седло

• Минимальная поверхность
• Однополостный гиперболоид
• Гиперболический параболоид
• Обезьянье седло

Свойства

• Седловые поверхности имеют отрицательную гауссову кривизну.
• От седловой поверхности нельзя отрезать горбушку плоскостью. Более точно: пересечение плоскости с седловой поверхностью не имеет компактных компонент.
  • Это свойство используется при определении седловых поверхностей в негладком случае.

Вариации и обобщения

• Понятие седловой поверхности обобщается на негладкий случай, как поверхность с которой нельзя срезать шапочку. Более точно поверхность $s(u,v)$ в $\mathbb {R} ^{3}$ называется (обобщенно) седловой поверхностью если для любой линейной функции $\ell \colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$ композиция $\ell \circ s$ не имеет строгих локальных минимумов и максимумов.

Поверхность в природе

• В верхней части хватательных конечностей раков-богомолов находится седлообразное образование, способствующее скоростному захвату добычи посредством сжатия и растяжения подобно пружине.

См. также

• Поверхность второго порядка
• Коническая поверхность
• Гиперболоид
• Параболоид
• Эллипсоид

Литература

• Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия. — URSS, 1936.
• Фоменко В. Т. Поверхности отрицательной кривизны. — Соросовский образовательный журнал, N 12, 1999.