Теорема Вивиани

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Сумма длин отрезков l+m+n равна высоте равностороннего треугольника.

Теорема Вивиани — утверждение в геометрии треугольника, согласно которому сумма расстояний от произвольной точки внутри равностороннего треугольника до его сторон равна высоте треугольника. Названа по имени итальянского математика Винченцо Вивиани.

В части постоянства суммы расстояний от произвольной внутренней точки до сторон утверждение может быть обобщено на равносторонние многоугольники и многоугольники с равными углами[1].

Доказательство[править | править вики-текст]

Теорема может быть доказана путём сравнения площадей треугольников. Пусть \triangle ABC — равносторонний треугольник, в котором h — это высота, и s — длина каждой из сторон. Точка P выбирается произвольно внутри треугольника, и тогда l, m, n — расстояния от точки P до сторон треугольника. Тогда площадь \triangle ABC будет складывается следующим образом:

S(\triangle ABC) = S(\triangle ABP) + S(\triangle ACP) + S(\triangle BCP),

из чего вытекают следующие соотношения:

\frac{s h}{2} = \frac{s \ell}{2} + \frac{s m}{2} + \frac{s n}{2},

то есть:

h = \ell + m + n.

Приложения[править | править вики-текст]

Теорема Вивиани позволяет получать координаты точек на трёхкомпонентные диаграммы (англ.) путём проведения линий, параллельных сторонам равностороннего треугольника. В частности, таким образом можно строить диаграммы воспламеняемости (англ.).

В более общем случае, они позволяют таким же образом задавать координаты на правильном симплексе.

Примечания[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]