Теорема Вивиани

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Сумма длин отрезков равна высоте равностороннего треугольника.

Теорема Вивиани — утверждение в геометрии треугольника, согласно которому сумма расстояний от произвольной точки внутри равностороннего треугольника до его сторон постоянна и равна высоте треугольника. Названа по имени итальянского математика Винченцо Вивиани.

В части постоянства суммы расстояний от произвольной внутренней точки до сторон утверждение может быть обобщено на равносторонние многоугольники и многоугольники с равными углами[1].

Доказательство[править | править вики-текст]

Теорема может быть доказана путём сравнения площадей треугольников. Пусть  — равносторонний треугольник, в котором  — это высота, и  — длина каждой из сторон. Точка выбирается произвольно внутри треугольника, и тогда , ,  — расстояния от точки до сторон треугольника. Тогда площадь будет складывается следующим образом:

,

из чего вытекают следующие соотношения:

,

то есть:

.

Приложения[править | править вики-текст]

Теорема Вивиани позволяет получать координаты точек на трёхкомпонентные диаграммы (англ.) путём проведения линий, параллельных сторонам равностороннего треугольника. В частности, таким образом можно строить диаграммы воспламеняемости (англ.).

В более общем случае, они позволяют таким же образом задавать координаты на правильном симплексе.

Примечания[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]