Равноугольный многоугольник

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Равноугольный четырёхугольник

В евклидовой геометрии равноугольный многоугольник — это многоугольник, чьи углы при вершинах равны. Если при этом равны и стороны, то получается правильный многоугольник.

Единственным равноугольным треугольником является правильный треугольник. Только прямоугольники, включая квадрат, являются равноугольными четырёхугольниками[1].

В равноугольном n-угольнике каждый угол равен . Это теорема о равноугольных многоугольниках.

Для равноугольных многоугольников верна теорема Вивиани[2]:

Сумма расстояний от внутренней точки до сторон равноугольного многоугольника не зависит от расположения точки и является инвариантом многоугольника.

Прямоугольник (равноугольный четырёхугольник) с целыми длинами сторон можно разделить на единичные квадраты, а равноугольный шестиугольник с целыми длинами сторон можно разделить на правильные треугольники. Некоторые, но не все, равноугольные двенадцатиугольники можно разложить на комбинацию единичных квадратов и равносторонних треугольников. Остальные можно разложить на эти два вида фигур с дополнительными ромбами с углами 30 ° и 150 °[1].

Вписанный многоугольник равноуголен в том и только в том случае, когда чередующиеся стороны равны (то есть, стороны 1, 3, 5, ... равны и стороны 2, 4, ... тоже равны). Таким образом, если n нечётно, циклический многоугольник равноуголен в том и только в том случае, когда он правильный[3].

Для простого числа p любой равноугольный p-угольник с целыми сторонами является правильным. Более того, любой равноугольный pk-угольник с целыми сторонами имеет p-кратную вращательную симметрию[4].

Примечания[править | править код]

  1. 1 2 Derek Ball. Equiangular polygons // The Mathematical Gazette. — 2002. — Т. 86, вып. 507. — С. 396—407.
  2. Elias Abboud "On Viviani’s Theorem and its Extensions" pp. 2, 11
  3. De Villiers, Michael. Equiangular cyclic and equilateral circumscribed polygons // Mathematical Gazette. — March 2011. — Т. 95. — С. 102—107.
  4. McLean, K. Robin. A powerful algebraic tool for equiangular polygons // Mathematical Gazette. — November 2004. — Т. 88. — С. 513—514.

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]