Теорема Вигнера — Эккарта

Теорема Вигнера — Эккарта — теорема из теории представлений и квантовой механики. В ней говорится, что матричный элемент сферического оператора в базисе собственных функций оператора углового момента может быть представлен в виде произведения двух величин, одна из которых не зависит от проекций углового момента, а другая является коэффициентом Клебша — Гордана. Название теоремы образовано от имён Юджина Вигнера и Карла Эккарта, которые разработали конструкцию, связывающий симметрию преобразования групп пространства с законами сохранения энергии, импульса и момента импульса.

Теорема Вигнера — Эккарта формулируется так:

$\langle jm|T_{q}^{k}|j'm'\rangle =\langle j||T^{k}||j'\rangle C_{kqj'm'}^{jm},$

где $T_{q}^{k}$ — сферический тензор ранга $k$, $|jm\rangle$ и $|j'm'\rangle$ суть собственные функции полного углового момента $J^{2}$ и его z-компоненты $J_{z}$, $\langle j||T^{k}||j'\rangle$ не зависит от $m$ и $q$, и $C_{kqj'm'}^{jm}=\langle j'm';kq|jm\rangle$ — коэффициенты Клебша — Гордана сложения $j'$ и $k$ для получения $j$.

Как следствие, Теорема Вигнера — Эккарта говорит нам, что действие сферического тензорного оператора ранга $k$ на собственную функцию углового момента есть то же самое, что добавление состояния с угловым моментом $k$ к исходному состоянию. Матричные элементы, находимые для сферического тензорного оператора, пропорциональны коэффициентам Клебша — Гордана, которые возникают при сложении двух угловых моментов.

Пример

Рассмотрим среднее значение координаты $\langle njm|x|njm\rangle$. Этот матричный элемент является средним значением оператора координаты в сферически-симметричном базисе собственных состояний атома водорода. Отыскание этих матричных элементов является нетривиальной задачей. Однако, использование теоремы Вигнера — Эккарта упрощает эту задачу. (В действительности возможно получить решение сразу же, используя чётность.)

Известно, что $x$ — одна из компонент вектора ${\vec {r}}$. Векторы являются тензорами первого ранга, таким образом $x$ является некоторой линейной комбинацией $T_{q}^{1}$, где $q=-1,0,1$. Можно показать, что $x={\tfrac {T_{-1}^{1}-T_{1}^{1}}{\sqrt {2}}}$, где сферические тензоры определены таким образом: $T_{0}^{1}=z$ и $T_{\pm 1}^{1}=\mp (x\pm iy)/{\sqrt {2}}$ (знаки должны быть выбраны согласно определению сферического тензора ранга $k$. Следовательно, $T_{q}^{1}$ пропорциональны только лестничным операторам). Поэтому

$\langle njm|x|n'j'm'\rangle =\left\langle njm\left|{\tfrac {T_{-1}^{1}-T_{1}^{1}}{\sqrt {2}}}\right|n'j'm'\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\langle nj||T^{1}||n'j'\rangle (C_{1(-1)j'm'}^{jm}-C_{11j'm'}^{jm}).$

Выражения выше дают нам матричные элементы для $x$ в базисе $|njm\rangle$. Чтобы найти среднее значение, положим $n'=n$, $j'=j$, и $m'=m$. Правила отбора для $m'$ и $m$ таковы: $m\pm 1=m'$ для сферических тензоров $T_{\mp 1}^{(1)}$. Как только $m'=m$, коэффициенты Клебша — Гордана обращаются в нуль, что ведет к равенству нулю средних значений.

Ссылки

• J. J. Sakurai, (1994). «Modern Quantum Mechanics», Addison Wesley, ISBN 0-201-53929-2.
• Weisstein, Eric W. Wigner–Eckart theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Wigner–Eckart theorem (англ.)
• Tensor Operators (англ.)