Коэффициенты Клебша — Гордана

Коэффициенты Клебша — Гордана находят применение при описании взаимодействия квантовомеханических моментов импульса. Они представляют собой коэффициенты разложения собственных функций суммарного момента импульса по базису собственных функций суммируемых моментов импульса. Коэффициенты Клебша — Гордана применяются при вычислении спин-орбитального взаимодействия, а также в формализме изоспина.

Коэффициенты Клебша — Гордана названы в честь Альфреда Клебша (1833—1872) и Пауля Альберта Гордана (1837—1912).

Взаимодействие моментов импульса

См. также статью Оператор момента импульса.

Рассмотрим два момента импульса $J_{1}$ и $J_{2}$, которые обладают квантовыми числами $j_{1}$ и $m_{1}$ ($z$-компонента) и $j_{2}$ и $m_{2}$. При этом $m_{1}$ и $m_{2}$ принимают значения $m_{1}=[-j_{1},\;\ldots ,\;j_{1}]$ и $m_{2}=[-j_{2},\;\ldots ,\;j_{2}]$ соответственно. Моменты импульса коммутируют $[J_{1},\;J_{2}]=0$, что означает, что оба могут быть измерены одновременно с любой точностью. Каждому моменту импульса соответствует свой базис собственных функций (векторов): $\left|j_{1},\;m_{1}\right\rangle$ или $\left|j_{2},\;m_{2}\right\rangle$. В базисе $\left|j_{1},\;m_{1}\right\rangle$ момент $J_{1}$ принимает простой диагональный вид, аналогично $J_{2}$ в базисе $\left|j_{2},\;m_{2}\right\rangle$.

При взаимодействии, оба момента импульса $J_{1}$ и $J_{2}$ складываются в общий момент ${\vec {J}}={\vec {J_{1}}}+{\vec {J_{2}}}$, который обладает квантовыми числами $J$ и $M$, принимающими следующие значения

$|j_{1}-j_{2}|\leqslant J\leqslant |j_{1}+j_{2}|$ и $M=[-J,\;\ldots ,\;J]$ (с шагом 1).

Так как суммарный момент импульса состоит из двух отдельных моментов импульса $J_{1}$ и $J_{2}$, то он может быть разложен в пространстве произведения двух собственных пространств отдельных моментов:

$\left|j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\right\rangle =\left|j_{1},\;m_{1}\right\rangle \otimes \left|j_{2},\;m_{2}\right\rangle .$

Однако вектора этого базиса не будут являться собственными векторами суммарного момента импульса ${\vec {J}}$ и его представление в этом базисе не будет иметь простой диагональной формы.

Базис собственных векторов суммарного момента импульса

Собственные векторы момента ${\vec {J}}$ однозначно определяются квантовыми числами $J$, $M$, $j_{1}$ и $j_{2}$. В базисе этих векторов суммарный момент $J$ принимает простую диагональную форму. А именно

${\vec {J}}\,^{2}\left|J,\;M,\;j_{1},\;j_{2}\right\rangle =J(J+1)\hbar ^{2}\left|J,\;M,\;j_{1},\;j_{2}\right\rangle ;$

$J_{z}\left|J,\;M,\;j_{1},\;j_{2}\right\rangle =M\hbar \left|J,\;M,\;j_{1},\;j_{2}\right\rangle .$

Коэффициенты Клебша — Гордана дают переход путём унитарного преобразования от базиса произведения собственных пространств отдельных моментов $\left|j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\right\rangle$ в базис собственных векторов $\left|J,\;M,\;j_{1},\;j_{2}\right\rangle$.

$\left|J,\;M,\;j_{1},\;j_{2}\right\rangle =\sum _{m_{1},\;m_{2}}\left|j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\right\rangle \langle j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\vert J,\;M,\;j_{1},\;j_{2}\rangle .$

Здесь $\langle j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\vert J,\;M,\;j_{1},\;j_{2}\rangle$ являются коэффициентами Клебша — Гордана.

Свойства коэффициентов Клебша — Гордана

• Коэффициенты Клебша — Гордана равны нулю, если не выполнено одно из двух условий $|j_{1}-j_{2}|\leqslant J\leqslant j_{1}+j_{2}$ и $M=m_{1}+m_{2}$:

$\langle j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\vert J,\;M,\;j_{1},\;j_{2}\rangle \neq 0\quad \Rightarrow \quad |j_{1}-j_{2}|\leqslant J\leqslant j_{1}+j_{2}\;\wedge \;M=m_{1}+m_{2}.$

• Коэффициенты Клебша — Гордана задают действительными числами:

$\langle j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\vert J,\;M,\;j_{1},\;j_{2}\rangle \in \mathbb {R} .$

• Коэффициент Клебша — Гордана при $M=J$ задают положительным:

$\langle j_{1},\;j_{1};\;j_{2},\;J-j_{1}\vert J,\;J,\;j_{1},\;j_{2}\rangle >0.$

• Коэффициенты Клебша — Гордана равны по модулю при $M=-M$:

$\langle j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\vert J,\;M,\;j_{1},\;j_{2}\rangle =(-1)^{j_{1}+j_{2}-J}\langle j_{1},\;-m_{1};\;j_{2},\;-m_{2}\vert J,\;-M,\;j_{1},\;j_{2}\rangle .$

• Коэффициенты Клебша — Гордана удовлетворяют условию ортогональности:

$\sum _{m_{1},\;m_{2}}\langle j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\vert J,\;M,\;j_{1},\;j_{2}\rangle \langle j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\vert J',\;M',\;j_{1},\;j_{2}\rangle =\delta _{JJ'}\delta _{MM'}.$

• Коэффициенты Клебша — Гордана удовлетворяют условию ортогональности:

$\sum _{J,\;M}\langle j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\vert J,\;M,\;j_{1},\;j_{2}\rangle \langle j_{1},\;m'_{1};j_{2},\;m'_{2}\vert J,\;M,\;j_{1},\;j_{2}\rangle =\delta _{m_{1}m'_{1}}\delta _{m_{2}m'_{2}}.$

Вычисление коэффициентов Клебша — Гордана

Собственное состояние с $J=j_{1}+j_{2}$ и $M=J$ непосредственно получается в базисе произведения собственных пространств составляющих моментов (только один коэффициент равен 1, остальные нулю)

$|j_{1}+j_{2},\;j_{1}+j_{2},\;j_{1},\;j_{2}\rangle =|j_{1},\;j_{1};\;j_{2},\;j_{2}\rangle .$

Применением оператора уменьшения $J_{-}=J_{1\,-}+J_{2\,-}$ можно получить состояния от $|j_{1}+j_{2},\;j_{1}+j_{2}-1,\;j_{1},\;j_{2}\rangle$ до $|j_{1}+j_{2},\;-j_{1}-j_{2},\;j_{1},j_{2}\rangle$, или же все состояния с $J=j_{1}+j_{2}$ и $M=-J,\;\ldots ,\;J=-j_{1}-j_{2},\;\ldots ,\;j_{1}+j_{2}$.

Состояние $|j_{1}+j_{2}-1,\;j_{1}+j_{2}-1,\;j_{1},\;j_{2}\rangle$ можно получить из условия ортогональности к состоянию $|j_{1}+j_{2},\;j_{1}+j_{2}-1,\;j_{1},\;j_{2}\rangle$ и соглашению о том, что коэффициент Клебша — Гордана при $M=J$ является положительным.

Применением оператора уменьшения к $J=j_{1}+j_{2}-1$ можно опять получить все состояния с $M=-j_{1}-j_{2}+1,\;\ldots ,\;j_{1}+j_{2}-1$. Итеративно можно применять эту процедуру для всех $J$ до $J=|j_{1}-j_{2}|$.

На практике, вычисление коэффициентов Клебша — Гордана производится по формуле:

$\langle j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\vert J,\;M,\;j_{1},\;j_{2}\rangle ={\sqrt {2j+1}}{\sqrt {\Delta _{j_{1}j_{2}j}}}{\sqrt {\dfrac {(j_{1}+m_{1})!(j-m)!}{(j_{1}-m_{1})!(j_{2}+m_{2})!(j_{2}-m_{2})!(j+m)!}}}\times$

$\times \sum _{s=\max(m_{1}+m_{2},\;j_{1}-j_{2})}^{j}{\dfrac {(-1)^{j_{1}+m_{2}-s}(j+s)!(j_{2}+s-m_{1})!}{(j-s)!(s-m_{1}-m_{2})!(s-j_{1}+j_{2})!(j_{1}+j_{2}+s+1)!}},$

где

$\Delta _{j_{1}j_{2}j}={\frac {(j_{1}+j_{2}-j)!(j_{2}+j-j_{1})!(j+j_{1}+j_{2}+1)!}{(j_{1}-j_{2}+j)!}}.$

Если $j_{1}-j_{2}$ — целое число, то суммирование в этой формуле ведётся по целым значениям $s$, а если $j_{1}-j_{2}$ — полуцелое число, то суммирование ведётся по полуцелым значениям $s$.

Коэффициенты Клебша — Гордана группы преобразований (обобщённые коэффициенты Клебша — Гордана)

Рассмотрим группу $G$ и её представление. Выберем базисные вектора $\psi _{\mu }^{(\alpha )}$ и $\psi _{\nu }^{(\beta )}$ неприводимых представлений $D^{(\alpha )}$ и $D^{(\beta )}$ этой группы. Назовём неприводимым тензорным оператором (неприводимым тензором) совокупность $f_{k}$ операторов $\{{\hat {F}}_{\chi }^{(k)}\}_{1}^{f_{k}}$, если в результате преобразований $g$, образующих группу $G$, компоненты тензора ${\hat {F}}_{\chi }^{(k)}$ преобразуются друг через друга по неприводимым представлениям $D^{(k)}$ этой группы, то есть она удовлетворяет следующему соотношению:

${\tilde {\hat {F}}}_{\chi }^{(k)}=\sum _{\chi '}D_{\chi '\chi }^{(k)}(g){\hat {F}}_{\chi '}^{(k)}.$

Векторы $|{\hat {F}}_{\chi }^{(k)}\psi _{\nu }^{(\beta )}\rangle$, где $\chi =1,\;2,\;\ldots ,\;f_{k};\;\nu =1,\;2,\;\ldots ,\;f_{\beta }$ образуют базис представления $D^{(k)}\times D^{(\beta )}$. Это представление, вообще говоря, является приводимым. Поэтому его можно представить в виде линейных комбинаций базисных векторов неприводимых представлений $D^{(\gamma )}$, на которые разбивается прямое произведение представлений (указанное выше). Для этого используются обобщённые коэффициенты Клебша — Гордана группы $G$ $\langle k\chi ,\;\beta \nu \vert \gamma \rho \rangle$.

$|{\hat {F}}_{\chi }^{(k)}\psi _{\nu }^{(\beta )}\rangle =\sum _{\gamma \rho }\langle k\chi ,\;\beta \nu \vert \gamma \rho \rangle \{{\hat {F}}^{(k)}\psi ^{(\beta )}\}_{\rho }^{\gamma }.$

Обобщённые коэффициенты Клебша — Гордана группы определяются как коэффициенты в разложении базисных векторов неприводимых представлений ${\hat {D}}^{(\gamma )}$ в линейную комбинацию прямого произведения представлений ${\hat {D}}^{(\alpha )}\times {\hat {D}}^{(\beta )}$.

$\{V^{(\alpha )}V^{(\beta )}\}_{\rho }^{\gamma }=\sum _{\mu ,\;\nu }\langle \alpha \mu ,\;\beta \nu \vert \gamma \rho \rangle V_{\mu }^{(\alpha )}V_{\nu }^{(\beta )},$

где $V_{\mu }^{(\alpha )},V_{\nu }^{(\beta )}$ — базисные векторы представлений ${\hat {D}}^{(\alpha )},\;{\hat {D}}^{(\beta )}$, а $\{V^{(\alpha )}V^{(\beta )}\}_{\rho }^{\gamma }$ — базисные векторы представления ${\hat {D}}^{(\gamma )}$: ${\hat {D}}^{(\alpha )}\times {\hat {D}}^{(\beta )}=\sum _{\gamma }^{\oplus }a^{(\gamma )}{\hat {D}}^{(\gamma )}$.

• Из определения коэффициентов Клебша — Гордана следует: $V_{\mu }^{(\alpha )}V_{\nu }^{(\beta )}=\sum _{\gamma \rho }\langle \alpha \mu ,\;\beta \nu \vert \gamma \rho \rangle \{V^{(\alpha )}V^{(\beta )}\}_{\rho }^{\gamma }$.
• Коэффициенты Клебша — Гордана образуют унитарную матрицу.

См. также

• 3j-символ
• Теорема Вигнера — Эккарта

Ссылки

Таблица с примерами для некоторых значений $j_{1}$ и $j_{2}$ (PDF, 70 kB) (Примечание: в данной таблице подразумевается, что от значения коэффициента нужно взять квадратный корень)

Литература

• Собельман И. И. Введение в теорию атомных спектров. — Издательство Литература, 1963.
• Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. — 5-ое изд. — Наука, 1976. — 664 с.