Коэффициенты Клебша — Гордана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Коэффициенты Клебша — Гордана находят применение при описании взаимодействия квантовомеханических моментов импульса. Они представляют собой коэффициенты разложения собственных функций суммарного момента импульса по базису собственных функций суммируемых моментов импульса. Коэффициенты Клебша — Гордана применяются при вычислении спин-орбитального взаимодействия, а также в формализме изоспина.

Коэффициенты Клебша — Гордана названы в честь Альфреда Клебша (1833—1872) и Пауля Альберта Гордана (1837—1912).

Взаимодействие моментов импульса[править | править вики-текст]

См. также статью Оператор момента импульса.

Рассмотрим два момента импульса и , которые обладают квантовыми числами и (-компонента) и и . При этом и принимают значения и соответственно. Моменты импульса коммутируют , что означает, что оба могут быть измерены одновременно с любой точностью. Каждому моменту импульса соответствует свой базис собственных функций (векторов): или . В базисе момент принимает простой диагональный вид, аналогично в базисе .

При взаимодействии, оба момента импульса и складываются в общий момент , который обладает квантовыми числами и , принимающими следующие значения

и (с шагом 1).

Так как суммарный момент импульса состоит из двух отдельных моментов импульса и , то он может быть разложен в пространстве произведения двух собственных пространств отдельных моментов:

Однако вектора этого базиса не будут являться собственными векторами суммарного момента импульса и его представление в этом базисе не будет иметь простой диагональной формы.

Базис собственных векторов суммарного момента импульса[править | править вики-текст]

Собственные вектора момента однозначно определяются квантовыми числами , , и . В базисе этих векторов суммарный момент принимает простую диагональную форму. А именно

Коэффициенты Клебша — Гордана дают переход путём унитарного преобразования от базиса произведения собственных пространств отдельных моментов в базис собственных векторов .

Здесь являются коэффициентами Клебша — Гордана.

Свойства коэффициентов Клебша — Гордана[править | править вики-текст]

  • Коэффициенты Клебша — Гордана равны нулю, если не выполнено одно из двух условий и :
  • Коэффициенты Клебша — Гордана задают действительными числами:
  • Коэффициент Клебша — Гордана при задают положительным:
  • Коэффициенты Клебша — Гордана равны по модулю при :
  • Коэффициенты Клебша — Гордана удовлетворяют условию ортогональности:
  • Коэффициенты Клебша — Гордана удовлетворяют условию ортогональности:

Вычисление коэффициентов Клебша — Гордана[править | править вики-текст]

Собственное состояние с и непосредственно получается в базисе произведения собственных пространств составляющих моментов (только один коэффициент равен 1, остальные нулю)

Применением оператора уменьшения можно получить состояния от до , или же все состояния с и .

Состояние можно получить из условия ортогональности к состоянию и соглашению о том, что коэффициент Клебша — Гордана при является положительным.

Применением оператора уменьшения к можно опять получить все состояния с . Итеративно можно применять эту процедуру для всех до .

На практике, вычисление коэффициентов Клебша — Гордана производится по формуле:

где

Если  — целое число, то суммирование в этой формуле ведётся по целым значениям , а если  — полуцелое число, то суммирование ведётся по полуцелым значениям .

Коэффициенты Клебша — Гордана группы преобразований (обобщённые коэффициенты Клебша — Гордана)[править | править вики-текст]

Рассмотрим группу и её представление. Выберем базисные вектора и неприводимых представлений и этой группы. Назовём неприводимым тензорным оператором (неприводимым тензором) совокупность операторов , если в результате преобразований , образующих группу , компоненты тензора преобразуются друг через друга по неприводимым представлениям этой группы, то есть она удовлетворяет следующему соотношению:

Векторы , где образуют базис представления . Это представление, вообще говоря, является приводимым. Поэтому его можно представить в виде линейных комбинаций базисных векторов неприводимых представлений , на которые разбивается прямое произведение представлений (указанное выше). Для этого используются обобщённые коэффициенты Клебша — Гордана группы .

Обобщённые коэффициенты Клебша — Гордана группы определяются как коэффициенты в разложении базисных векторов неприводимых представлений в линейную комбинацию прямого произведения представлений .

где  — базисные векторы представлений , а  — базисные векторы представления : .

  • Из определения коэффициентов Клебша — Гордона следует: .
  • Коэффициенты Клебша — Гордона образуют унитарную матрицу.

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

Таблица с примерами для некоторых значений и (PDF, 70 kB) (Примечание: в данной таблице подразумевается, что от значения коэффициента нужно взять квадратный корень)

Литература[править | править вики-текст]

  • Собельман И. И. Введение в теорию атомных спектров. — Издательство Литература, 1963.
  • Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. — 5-ое изд. — Наука, 1976. — 664 с.