Теорема Гурвица (комплексный анализ)

Теоре́ма Гу́рвица — утверждение в комплексном анализе, которое описывает связь нулей голоморфной функции с нулями последовательности.

Используется в доказательстве важной теоремы Римана об отображении.

Утверждение теоремы

Пусть последовательность функций $f_{n}$, голоморфных в области $D$, сходится в топологии $O(D)$ (то есть равномерно на компактах в $D$) к функции $f\neq {\text{const}}$. Если точка $z_{0}\in D$ является нулем функции $f$, то есть $f(z_{0})=0$, то в любом круге $\{z:|z-z_{0}|<r\}\subset D$ все функции $f_{n}$, начиная с некоторой, также имеют нуль.

Доказательство

По теореме Вейерштрасса предельная функция $f$ голоморфна в $D$. Поскольку достаточно доказать теорему лишь для достаточно малых кругов с центром $z_{0}$, мы можем считать, что круг $U=\{z:|z-z_{0}|\leq r\}$ принадлежит $D$, а в $U$ нет других нулей $f$, кроме $z_{0}$.

Положим $f_{\ast }=\min _{z\in \partial U}|f(z)|$, что больше нуля по построению. Из равномерной сходимости последовательности $f_{n}$ на $\partial U$ вытекает, что начиная с некоторого номера выполняется оценка $|f_{n}(z)-f(z)|<f_{\ast }$ для всех $z\in \partial U$. Тогда по теореме Руше функция $f_{n}(z)=f(z)+[f_{n}(z)-f(z)]$ имеет в $U$ столько же нулей, сколько и $f$, то есть по крайней мере один.

Литература

• Hurwitz A. Ueber die Bedingungen, unter welchen eine Gleichung nur Würzeln mit negativen reellen Teilen besitzt. Math. Ann. , 46 (1895) pp. 273—284.
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. Часть 1. Функции одного переменного. — М.: Наука. — С. 225.