Нуль функции

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Нули косинуса на интервале [-2π,2π] (красные точки)

Нуль функции в математике — элемент из области определения функции, в котором она принимает нулевое значение. Например, для функции , заданной формулой

является нулём, поскольку

.

Понятие нулей функции можно рассматривать для любых функций, область значений которых содержит нуль или нулевой элемент соответствующей алгебраической структуры.

Для функции действительного переменного нулями являются значения, в которых график функции пересекает ось абсцисс.

Нахождение нулей функции часто требует использования численных методов (к примеру, метод Ньютона, градиентные методы).

Одной из нерешённых математических проблем является нахождение нулей дзета-функции Римана.

Корень многочлена[править | править код]

Основная статья: Корень многочлена

Кубические уравнения[править | править код]

Исторически к появлению понятия мнимых чисел привело решение уравнений 3-й степени с тремя разными действительными корнями. По формуле Кардано все три корня уравнения равны

где (на месте плюс-минуса подходят оба знака, если только C не обращается в 0), а — это все возможные комплексные корни 3-й степени из 1, а именно и

  • Если число под квадратным корнем меньше нуля, а k и l вещественны, то и невещественные сопряжённые числа, а значит, при их сложении получатся три разных вещественных корня кубического уравнения.
  • Если равняется нулю, то кубическое уравнение имеет один трёхкратный корень или два различных корня, один из которых двукратен.
  • Если же больше нуля, а k и l действительны, то одно из чисел является действительным, однако и уже не сопряжены: у них разные модули, — и в итоге у кубического уравнения только один вещественный корень, а остальные дванет.

— это дискриминант уравнения знак которого как раз определяет вещественность и кратность корней.

На первый взгляд, в 1-м и 3-м пунктах изложены парадоксальные случаи. Эта странность была разрешена и обоснована Рафаэлем Бомбелли и позволила ему полноценно легализовать мнимые числа, а также отрицательные числа, которые до него в Европе не были признаны.

Основная теорема алгебры[править | править код]

Основная теорема алгебры утверждает, что каждый многочлен степени n имеет n комплексных корней, с учётом их кратности. У кубического уравнения, как показано выше, всегда три комплексных корня, с учётом кратности. Все мнимые корни многочлена, если они есть, всегда входят сопряжёнными парами, только если все коэффициенты многочлена вещественны. Каждый многочлен нечётной степени с вещественными коэффициентами имеет по крайней мере один действительный корень. Связь между корнями многочлена и его коэффициентами устанавливает теорема Виета.

Комплексный анализ[править | править код]

Простой нуль голоморфной в некоторой области функции — точка , в некоторой окрестности которой справедливо представление , где голоморфна в и не обращается в этой точке в нуль.

Нуль порядка голоморфной в некоторой области функции — точка , в некоторой окрестности которой справедливо представление , где голоморфна в и не обращается в этой точке в нуль.

Нули голоморфной функции изолированы.

Другие специфические свойства нулей комплексных функций выражаются в различных теоремах:

Литература[править | править код]