Теорема Колмогорова о двух рядах

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Теорема Колмогорова о двух рядах в теории вероятностей задает достаточное условие сходимости с вероятностью единица ряда независимых случайных величин. Теорема Колмогорова о двух рядах может быть использована для доказательства усиленного закона больших чисел.

Для сходимости с вероятностью единица ряда из независимых случайных величин достаточно, чтобы одновременно сходились два ряда: и . Если к тому же , то это условие является и необходимым.

Доказательство[править | править код]

Если , то по теореме Колмогорова - Хинчина о сходимости сходится. Но по предположению ряд сходится, поэтому сходится и ряд .

Для доказательства необходимости воспользуемся следующим приемом "симметризации". Наряду с последовательностью рассмотрим не зависящую от неё последовательность случайных величин таких, что имеет то же распределение, что и .

Тогда, если сходится ряд , то сходится и ряд , а значит, и ряд . Но и . Поэтому по теореме Колмогорова - Хинчина о сходимости .

Далее . Поэтому по теореме Колмогорова - Хинчина о сходимости с вероятностью единица сходится ряд , а значит, сходится и ряд .

Итак, из сходимости ряда (в предположении вытекает, что оба ряда и сходятся.

Литература[править | править код]

  • Ширяев А. Н. Вероятность. — 3-е изд., перераб. и доп.. — М.: МЦНМО, 2004. (Глава 4 § 2 раздел 1)