Теорема Кэмпбелла

Теорема Кэмпбелла - описывает свойства выходного сигнала линейной системы, входным сигналом которой является хаотическая последовательность одинаковых импульсов.

Формулировка[править | править код]

Предположим, что на вход линейной системы достаточно долго, до установления равновесного состояния, подаётся хаотическая последовательность одинаковых импульсов со средней частотой следования $N$ импульсов в секунду. Каждый импульс, приходящий в момент $t=0$ , вызывает выходной сигнал системы $f(t)$ . Тогда $\langle \theta \rangle =N\int \limits _{0}^{\infty }f(t)dt$ и $\langle \delta \theta ^{2}\rangle \equiv \left\langle (\theta -\langle \theta \rangle )^{2}\right\rangle =N\int \limits _{0}^{\infty }f^{2}(t)dt$ . Здесь угловые скобки $\langle \ \rangle$ означают осреднение по ансамблю.

Пример применения[править | править код]

Предположим, что на $RC$ -цепочку в случайном порядке подаются электроны, например с лампового диода. Вычислим флуктуации напряжения. Одиночный электрон, пролетающий в момент $t=0$ , вызывает переменное напряжение $f(t)={\frac {e}{C}}\exp \left(-{\frac {t}{RC}}\right)$ . Следовательно $\langle V\rangle ={\frac {Ne}{C}}\int _{0}^{\infty }\exp \left(-{\frac {t}{RC}}\right)dt=NeR=JR$ , где $J$ — средний ток. Для дисперсии напряжения флуктуаций получаем $\langle \delta V^{2}\rangle =\left\langle (V-\langle V\rangle )^{2}\right\rangle ={\frac {Ne^{2}}{C^{2}}}\int _{0}^{\infty }\exp \left(-{\frac {2t}{RC}}\right)dt={\frac {JeR}{2C}}$ . Первые оценки величины заряда электрона были получены именно измерением «дробового шума».