Теорема Пика (комплексный анализ)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Теорема Пика, или теорема Шварца — Пика, инвариантная форма и обобщение леммы Шварца.

Формулировка[править | править код]

Пусть  — регулярная аналитическая функция из единичного круга в единичный круг

Тогда для любых точек и круга расстояние в конформно-евклидовой модели плоскости Лобачевского их образов , не превосходит .

Более того, равенство достигается только в том случае, когда есть дробно-линейная функция, отображающая круг на себя.

Замечания[править | править код]

Поскольку

условие

эквивалентно следующему неравенству:

Если и бесконечно близки, оно превращается в

Литература[править | править код]

  • Рick G. Mathematische Annalen. — 1016. — Bd 77. — S. 1—6.
  • Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. — 2 изд. — М., 1966.