Теорема Хэйнсворта

Теорема Хэйнсворта — утверждение о свойствах дополнений Шура трех последовательно вложенных матриц.

Формулировка

Пусть $A={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{pmatrix}}$, $B={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{pmatrix}}$, $C=A_{11}$ - квадратные матрицы, причем матрицы $B$ и $C$ невырождены. Дополнение Шура матрицы $C$ в матрице $B$ $\left(B{\mathcal {j}}C\right)=A_{22}-A_{21}A_{11}^{-1}A_{12}$ можно рассматривать как подматрицу матрицы $\left(A{\mathcal {j}}C\right)={\begin{pmatrix}A_{22}&A_{23}\\A_{32}&A_{33}\end{pmatrix}}-{A_{21} \choose A_{31}}A_{11}^{-1}(A_{12}A_{13})$.

Тогда:

$\left(A{\mathcal {j}}B\right)=\left(\left(A{\mathcal {j}}C\right){\mathcal {j}}\left(B{\mathcal {j}}C\right)\right)$.

Доказательство

Доказательство есть в книге .

Литература

• Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М.: Наука, 1996. — 304 с.