Теорема об опорной гиперплоскости

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема об опорной гиперплоскости или теорема о разделяющей гиперплоскости является одним из важных «свойств» выпуклых множеств.

Если заданы замкнутое ограниченное выпуклое множество и точка , не принадлежащая множеству , то существуют такие числа , что

Геометрически это означает, что через точку можно провести гиперплоскость так, что множество будет лежать «выше» этой гиперплоскости.


Доказательство[править | править вики-текст]

Прямоугольный треугольник

Пусть − расстояние между точкой и точкой . Так как множество замкнуто и ограничено, а значит, компактно, то

функция непрерывна и достигает в некоторой точке своего минимума.

Пусть гиперплоскость, проходящая через точку и перпендикулярная прямой, соединяющей точки и .

Докажем, что ни одна из точек множества не содержится в гиперплоскости .

Предположим обратное, т.е., что существует такая точка , принадлежащая как множеству , так и гиперплоскости .

Тогда в двухмерной плоскости, являющейся линейной оболочкой точек , эти три точки образуют прямоугольный треугольник

с прямым углом в вершине . При этом точка является выпуклой комбинацией точек , так как она находится

внутри отрезка, соединяющего точки и . Однако, тогда расстояние от точки , являющейся основанием перпендикуляра,

опущенного из вершины на гипотенузу , до вершины строго меньше, чем расстояние от вершины до вершины , т.е.

.

Следовательно точка не может принадлежать множеству , так как это предположение противоречит тому, что функция достигает своего минимума в точке .

Таким образом, ни одна из точек множества не содержится в гиперплоскости . Значит, всё множество содержится в одном из двух полупространств, определяемых

гиперплоскостью . Эти полупространства определяются следующими неравенствами:

и

,

где числа и являются коэффициентами уравнения гиперплоскости , задаваемой уравнением:

Теперь, если заменить на , т.е. умножить уравнение гиперплоскости на , то гиперплоскость останется неизменной, а

полупространства поменяются местами. Следовательно, можно считать, что полупространство, в котором содержится множество , определяется неравенством:

.

Это доказывает теорему.

Литература[править | править вики-текст]

  • Дж. фон Нейман. Теория игр и экономическое поведение / Дж. фон Нейман, О. Моргенштерн. Пер. с англ. под ред. и с доб. Н.Н. Воробьева. - М. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1970. - 708 с.
  • Дюбин, Г.Н. Введение в прикладную теорию игр / Г.Н. Дюбин, В.Г. Суздаль. – М. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981. – 336 с.
  • Оуэн, Г. Теория игр. / Г. Оуэн. [пер. с англ.] / Под ред. А.А. Корбута. – М. : Издательство «Мир», 1971. – 229 с.