Выпуклое множество

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Выпуклое множество.
Невыпуклое множество.

Выпуклое множество в аффинном или векторном пространстве — множество, в котором все точки отрезка, образуемого любыми двумя точками данного множества, также принадлежат данному множеству.

Определения[править | править вики-текст]

Пусть  — аффинное или векторное пространство над полем вещественных чисел .

Множество называется выпуклым, если вместе с любыми двумя точками множеству принадлежат все точки отрезка , соединяющего в пространстве точки и . Этот отрезок можно представить как

Связанные определения[править | править вики-текст]

Множество векторного пространства называется абсолютно выпуклым, если оно выпукло и уравновешенно.

Примеры[править | править вики-текст]

Свойства[править | править вики-текст]

  • Выпуклое множество в топологическом линейном пространстве является связным и линейно связным, гомотопически эквивалентным точке.
  • В терминах связности, выпуклое множество можно определить так: множество выпукло, если его пересечение с любой (вещественной) прямой связно.
  • Пусть  — выпуклое множество в линейном пространстве. Тогда для любых элементов принадлежащих и для всех неотрицательных , таких что , вектор
принадлежит .
  • Пересечение любого числа выпуклых множеств является выпуклым множеством, таким образом выпуклые подмножества образуют полную сетку. Это так же означает и то, что любое подмножество линейного пространства содержится внутри малого выпуклого множества (называемого выпуклой оболочкой множества ), то есть пересечение всех выпуклых множеств содержит .
  • Замкнутые выпуклые множества могут быть определены как пересечения замкнутых полупространств (множества точек в пространстве, которые лежат только на одной части гиперплоскости). Из выше сказанного становится понятным, что такие пересечения являются выпуклыми и замкнутыми множествами. Для доказательства обратного, то есть что каждое выпуклое множество может быть представлено в виде пересечения, можно использовать теорему об опорной гиперплоскости в форме в которой для данного замкнутого выпуклого множества и точки , не принадлежащей ему, существует замкнутое полупространство , содержащее и не содержащее . Теорема об опорной гиперплоскости является частным случаем теоремы Хана — Банаха из функционального анализа.
  • Теорема Хелли: Предположим в конечном семействе выпуклых подмножеств , пересечение любых из них непусто. Тогда пересечение всех подмножеств из этого семейства непусто.
  • Любое выпуклое множество единичной площади в можно целиком заключить в некоторый треугольник площади 2[1].

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

  1. Weisstein, Eric W. Triangle Circumscribing (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.