Теорема Лакса — Мильграма

Теорема Лакса — Мильграма — теорема функционального анализа имеющая широкое применение в численных методах, в частности при теоретическом обосновании метода конечных элементов.

Формулировка

Пусть

• ${\mathcal {H}}$ является гильбертовым пространством со скалярным произведением $\langle \cdot ,\cdot \rangle ,$ и ассоциированной нормой $\|\cdot \|$
• $a(\cdot \,,\,\cdot )$ является билинейной формой, которая:
  • непрерывна
  • коэрцитивна в ${\mathcal {H}}$ (иногда используется термин ${\mathcal {H}}$-эллиптичность); то есть, $\exists \,\alpha >0,\forall u\in {\mathcal {H}}\,,\ a(u,u)\geq \alpha \|u\|^{2}$
• L является непрерывной линейной формой в ${\mathcal {H}}$.

Тогда существует единственный элемент $u\in {\mathcal {H}}$, такой, что равенство

$a(u,v)=L(v)$

выполняется для всех $v\in {\mathcal {H}}$:

Литература

• Гилбарг Д., Трудингер М. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка / Пер. с англ. Л.П. Купцова / Под. ред. А.К. Гущина. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. — 464 с. — ISBN 5020139386.

См. также

• Гильбертово пространство
• Теорема представлений Рисса