Теоремы Фрагмена — Линделёфа о росте регулярных функций

Теоремы Фрагмена — Линделёфа о росте регулярных функций — утверждения о том, что функция комплексного переменного $F(z)$, регулярная в некоторой бесконечной области $D$ и непрерывная в ${\overline {D}}$, а также ограниченная на границе $\partial D$ области $D$, или ограничена всюду в ${\overline {D}}$ или внутри $D$ достаточно быстро растёт — тем "быстрее", чем меньше область $D$.

Теорема Фрагмена — Линделёфа о верхней полуплоскости

Пусть функция $F(z)$ регулярна в полуплоскости $Rez>0$ и непрерывна в полуплоскости $Rez\geqslant 0$, причём $\mid F(iy)\mid <C_{0}$, $-\infty <y<\infty$. Тогда или $\mid F(z)\mid <C_{0}$ при всех $z$, $Rez\geqslant 0$ или функция $F(z)$ имеет в полуплоскости $Rez\geqslant 0$ порядок $\rho$, не меньший единицы.

Пояснения

Число $\rho$ называется порядком целой функции $F(z)$, если $\rho =\varlimsup _{t\to \infty }{\frac {\ln \ln M_{F}(r)}{\ln r}}$. Иначе говоря, целая функция имеет порядок $\rho$, если для любого $\epsilon >0$ существует константа $C_{\epsilon }$ и последовательность возрастающих к $\infty$ положительных чисел $r_{k}$, такие, что

$\max _{0\leqslant \varphi \leqslant 2\pi }\mid F(re^{i\varphi })\mid \leqslant C_{\epsilon }exp(r^{\rho +\epsilon })$,

$r>0$,

$\max _{0\leqslant \varphi \leqslant 2\pi }\mid F(r_{k}e^{i\varphi })\mid \geqslant C_{\epsilon }exp(r_{k}^{\rho +\epsilon })$,

$k=1,2,$.

Доказательство

Доказательство есть в книге .

Литература

• Ибрагимов И. И. Методы интерполяции функций и некоторые их применения. — М.: Наука, 1971. — 518 с.