Тройное произведение Якоби

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Тройное произведение Якоби — это математическое тождество:

для комплексных чисел x и y с и .

Тождество предложил Карл Густав Якоб Якоби[1] в труде Fundamenta Nova Theoriae Functionum Ellipticarum (Новые принципы в теории эллиптических функций).

Тождество тройного произведения Якоби является тождеством Макдональда[en] для аффинных корней системы типа A1 и является формулой Вейля для знаменателей[en] для соответствующей аффинной алгебры Каца-Муди[en].

Свойства[править | править код]

Доказательство Якоби основывается на теореме о пятиугольных числах[en] Эйлера, которая сама является частым случаем тождества тройного произведения Якоби.

Пусть и . Тогда имеем

Тройное произведение Якоби позволяет также переписать тета-функцию Якоби как бесконечное произведение:

Пусть и

Тогда тэта-функцию Якоби

можно переписать в виде

Используя тождество тройного произведения Якоби, мы можем записать тэта-функцию как произведение

Существует много различных обозначений, используемых для выражения тройного произведения Якоби. Оно принимает краткую форму, если его выразить в терминах q-символов Похгаммера:

где — бесконечный q-символ Похгаммера.

Формула принимает особенно элегантный вид, когда выражается в терминах тета-функции Рамануджана. Для её можно переписать как

Доказательство[править | править код]

Для аналитического случая см. книгу Апостола[2], первое издание которой было опубликовано в 1976. См. также ссылку ниже для доказательства, стимулированного физиками.

Примечания[править | править код]

  1. Jacobi, 1829.
  2. Apostol, 1976, с. theorem 14.6.

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]