Наиболее распространённый вид тета-функций — это функции, встречающиеся в теории эллиптических функций. По отношению к одной из комплексных переменных (обычно обозначаемой z) тета-функция имеет свойство, выражающееся в сложении периодов ассоциированных эллиптических функций, что делает их квазипериодическими[en]. В абстрактной теории это получается из условия линейного расслоения[en]понижения[en].
Имеется несколько связанных функций, которые называются тета-функциями Якоби, и много различных и несовместимых систем их обозначения.
Одна тета-функция Якоби (названа именем Карла Густава Якоби), это функция, определённая от двух комплексных переменных z и , где z может быть любым комплексным числом, а ограничена верхней половиной плоскости, что означает, что число имеет положительную мнимую часть. Функция задаётся формулой
где и . Функция является формой Якоби[en]. Если фиксировать , функция становится рядом Фурье для периодической целой функции от z с периодом 1. В этом случае тета-функция удовлетворяет тождеству
Функция ведёт себя очень регулярно с учётом квазипериода и удовлетворяет функциональному уравнению
где a и b — целые числа.
Тета-функция с различными номами[en]. Чёрная точка на правом рисунке показывает, как меняется q при изменении
Тета-функция с различными номами[en]. Чёрная точка на правом рисунке показывает, как меняется q при изменении
Тета-функция Якоби, определённая выше, иногда рассматривается вместе с тремя дополнительными тета-функциями и в этом случае записывается с дополнительным индексом 0:
Дополнительные (полупериодичные) функции определяются формулами
Этим обозначениям следовали Риман и Мамфорд. Первоначальная формулировка Якоби была в терминах нома[en], а не . В обозначениях Якоби θ-функции записываются в виде:
Если мы положим в тета-функциях выше, мы получим четыре функции, зависящие только от и определённые на верхней полуплоскости (которые иногда называются тета-константами.) Они могут быть использованы для определения различных модулярных форм и для параметризации некоторых кривых. В частности, тождество Якоби
Тождества Якоби описывают, как тета-функции преобразуются модулярной группой, которая порождается отображениями и . Тождества для первого преобразования найти легко, поскольку добавление единицы в показателе к имеет тот же эффект, что и добавление к z (mod 2). Во втором случае положим
Вместо выражения тета-функций в терминах z и мы можем выразить их в терминах аргумента w и нома[en]q, где , а . В этом случае функции превращаются в
Мы видим, что тета-функции можно определить в терминах w и q без прямой ссылки на экспоненциальную функцию. Формулы могут быть использованы, поэтому, для определения тета-функций над другими полями, где экспоненциальная функция может быть не везде определена, такими как поле p-адических чисел.
Эта формула верна для общего случая, но представляет особый интерес при вещественных z. Аналогичные формулы произведений для дополнительных тета-функций
и можно показать, что преобразование инвариантно относительно замены s на 1 − s. Cоответствующий интеграл для z ≠ 0 дан в статье о дзета-функции Гурвица.
Тета-функции использовал Якоби для построения (в виде, приспособленном для упрощения вычислений) его эллиптических функций как частные вышеприведённых четырёх тета-функций, и он мог их использовать также для построения эллиптических функций Вейерштрасса, поскольку
,
где вторая производная берётся по z, а константа c определена так, что ряд Лорана функции ℘(z) в точке z = 0 имеет нулевой постоянный член.
Тета-функция Якоби является фундаментальным решением одномерного уравнения теплопроводности с пространственными периодическими граничными условиями[5]. Принимая вещественным, а с вещественным и положительным t, мы можем записать
Общие решения для задачи с пространственными периодическими начальными значениями для уравнения теплопроводности могут быть получены путём свёртки начальных данных в с тета-функцией.
Тета-функция Якоби является инвариантом при действии дискретной подгруппы группы Гейзенберга. Эта инвариантность представлена в статье о тета-представлении[en] группы Гейзенберга.
Если F является квадратичной формой от n переменных, то тета-функция, связанная с F, равна
с суммой по решётке целых чисел ℤn. Эта тета-функция является модулярной формой с весом (на надлежащим образом определённой подгруппе) модулярной группы. В разложении в ряд Фурье
Тогда, если дано , тета-функция Римана определяется как
Здесь является n-мерным комплексным вектором, а верхний индекс T означает транспонирование. Тета-функция Якоби является тогда частным случаем с и , где является верхней полуплоскостью.
Тета-функция Римана сходится абсолютно и равномерно на компактных подмножествах .
Функциональное уравнение функции
которое выполняется для всех векторов и для всех }} и .
Ахиезер Н. И. Элементы теории эллиптических функций. — Москва: «Наука» Главная редакция физико-математической литературы, 1970. — (Физико-математическая библиотека инженера). — ISBN 0-8218-4532-2.
Hershel M. Farkas, Irwin Kra.ch. 6 // Riemann Surfaces. — New York: Springer-Verlag, 1980. — ISBN 0-387-90465-4.. (обсуждение тета-функции Римана)
Hardy G. H., Wright E. M. An Introduction to the Theory of Numbers. — 4th. — Oxford: Clarendon Press, 1959.
James Pierpont. Functions of a Complex Variable. — New York: Dover Publications, 1959.
Harry E. Rauch, Hershel M. Farkas. Theta Functions with Applications to Riemann Surfaces. — Baltimore: Williams & Wilkins, 1974. — ISBN 0-683-07196-3.
William P. Reinhardt, Peter L. Walker.Theta Functions // NIST Handbook of Mathematical Functions / Frank W. L. Oliver, Daniel M. Lozier, Ronald F. Boisvert, Charles W. Clark. — Cambridge University Press, 2010. — ISBN 978-0521192255,.
Whittaker E. T., Watson G. N.ch. 21 // A Course in Modern Analysis. — 4th. — Cambridge: Cambridge University Press, 1927.(история θ-функций Якоби)
Jinhee Yi. Theta-function identities and the explicit formulas for theta-function and their applications // Journal of Mathematical Analysis and Applications. — 2004. — Т. 292. — С. 381–400. — doi:10.1016/j.jmaa.2003.12.009.
István Mező. A q-Raabe formula and an integral of the fourth Jacobi theta function // Journal of Number Theory. — 2012. — Т. 133, вып. 2. — С. 692–704. — doi:10.1016/j.jnt.2012.08.025.
István Mező. Duplication formulae involving Jacobi theta functions and Gosper's q-trigonometric functions // Proceedings of the American Mathematical Society. — 2013. — Т. 141, вып. 7. — С. 2401–2410. — doi:10.1090/s0002-9939-2013-11576-5.
Тета-функции, Якоби эллиптические функции // Математическая энциклопедия / Виноградов И. В.. — Советская энциклопедия, 1985. — Т. 5. — (Энциклопедии, словари, справочники).
Прасолов В. В., Соловьёв Ю. П. Алгебраические уравнения и тета-функции. — М.: МК НМУ, 1994.
Hershel M. Farkas.Theta functions in complex analysis and number theory // Surveys in Number Theory / Krishnaswami Alladi. — Springer-Verlag, 2008. — Т. 17. — С. 57–87. — (Developments in Mathematics). — ISBN 978-0-387-78509-7.
Bruno Schoeneberg.IX. Theta series // Elliptic modular functions. — Springer-Verlag, 1974. — Т. 203. — С. 203–226. — (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften). — ISBN 3-540-06382-X.
Тюрин А. Н. Квантование, классическая и квантовая теория поля и тета-функции. — М., 2003.