Тета-функция

Оригинальная тета-функция Якоби $\theta _{1}$ с $u=i{\pi }z$ и номом $q=e^{i{\pi }\tau }=0,1e^{0,1i\pi }$}}. Соглашения:
${\begin{aligned}\theta _{1}(u;q)&=2q^{\frac {1}{4}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}q^{n(n+1)}\sin(2n+1)u\\&=\sum _{n=-\infty }^{n=\infty }(-1)^{n-{\frac {1}{2}}}q^{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}e^{(2n+1)iu}\end{aligned}}$

Тета-функции — это специальные функции от нескольких комплексных переменных. Они играют важную роль во многих областях, включая теории абелевых многообразий, пространства модулей и квадратичных форм. Они применяются также в теории солитонов. После обобщения к алгебре Грассмана функции появляются также в квантовой теории поля.

Наиболее распространённый вид тета-функций — это функции, встречающиеся в теории эллиптических функций. По отношению к одной из комплексных переменных (обычно обозначаемой z) тета-функция имеет свойство, выражающееся в сложении периодов ассоциированных эллиптических функций, что делает их квазипериодическими. В абстрактной теории это получается из условия линейного расслоения понижения.

Тета-функция Якоби

Тета-функция 1 Якоби

Тета-функция 2 Якоби

Тета-функция 3 Якоби

Тета-функция 4 Якоби

Имеется несколько связанных функций, которые называются тета-функциями Якоби, и много различных и несовместимых систем их обозначения. Одна тета-функция Якоби (названа именем Карла Густава Якоби), это функция, определённая от двух комплексных переменных z и $\tau$, где z может быть любым комплексным числом, а $\tau$ ограничена верхней половиной плоскости, что означает, что число имеет положительную мнимую часть. Функция задаётся формулой

${\begin{aligned}\vartheta (z;\tau )&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp \left(\pi in^{2}\tau +2\pi inz\right)=\\&=1+2\sum _{n=1}^{\infty }\left(e^{\pi i\tau }\right)^{n^{2}}\cos(2\pi nz)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}\eta ^{n},\end{aligned}}$

где $q=\exp(\pi {i}\tau )$ и $\eta =\exp(2\pi {i}z)$. Функция является формой Якоби. Если фиксировать $\tau$, функция становится рядом Фурье для периодической целой функции от z с периодом 1. В этом случае тета-функция удовлетворяет тождеству

$\vartheta (z+1;\tau )=\vartheta (z;\tau ).$

Функция ведёт себя очень регулярно с учётом квазипериода $\tau$ и удовлетворяет функциональному уравнению

$\vartheta (z+a+b\tau ;\tau )=\exp \left(-\pi ib^{2}\tau -2\pi ibz\right)\,\vartheta (z;\tau ),$

где a и b — целые числа.

Тета-функция $\theta _{1}$ с различными номами $q=e^{i{\pi }\tau }$. Чёрная точка на правом рисунке показывает, как меняется q при изменении $\tau$

Тета-функция $\theta _{1}$ с различными номами $q=e^{i{\pi }\tau }$. Чёрная точка на правом рисунке показывает, как меняется q при изменении $\tau$

Вспомогательные функции

Тета-функция Якоби, определённая выше, иногда рассматривается вместе с тремя дополнительными тета-функциями и в этом случае записывается с дополнительным индексом 0:

$\vartheta _{00}(z;\tau )=\vartheta (z;\tau )$

Дополнительные (полупериодичные) функции определяются формулами

${\begin{aligned}\vartheta _{01}(z;\tau )&=\vartheta \!\left(z+{\tfrac {1}{2}};\tau \right)\\[3pt]\vartheta _{10}(z;\tau )&=\exp \left({\tfrac {1}{4}}\pi i\tau +\pi iz\right)\vartheta \left(z+{\tfrac {1}{2}}\tau ;\tau \right)\\[3pt]\vartheta _{11}(z;\tau )&=\exp \left({\tfrac {1}{4}}\pi i\tau +\pi i\left(z+{\tfrac {1}{2}}\right)\right)\vartheta \left(z+{\tfrac {1}{2}}\tau +{\tfrac {1}{2}};\tau \right).\end{aligned}}$

Этим обозначениям следовали Риман и Мамфорд. Первоначальная формулировка Якоби была в терминах нома $q=e^{i{\pi }\tau }$, а не $\tau$. В обозначениях Якоби θ-функции записываются в виде:

${\begin{aligned}\theta _{1}(z;q)&=-\vartheta _{11}(z;\tau )\\\theta _{2}(z;q)&=\vartheta _{10}(z;\tau )\\\theta _{3}(z;q)&=\vartheta _{00}(z;\tau )\\\theta _{4}(z;q)&=\vartheta _{01}(z;\tau )\end{aligned}}$

Приведённые выше определения тета-функции Якоби далеко не единственные. См. статью Тета-функции Якоби (вариации обозначений) с дальнейшим обсуждением.

Если мы положим $z=0$ в тета-функциях выше, мы получим четыре функции, зависящие только от $\tau$ и определённые на верхней полуплоскости (которые иногда называются тета-константами.) Они могут быть использованы для определения различных модулярных форм и для параметризации некоторых кривых. В частности, тождество Якоби

$\vartheta _{00}(0;\tau )^{4}=\vartheta _{01}(0;\tau )^{4}+\vartheta _{10}(0;\tau )^{4}$

является кривой Ферма четвёртой степени.

Тождества Якоби

Тождества Якоби описывают, как тета-функции преобразуются модулярной группой, которая порождается отображениями $\tau \mapsto \tau +1$ и $\tau \mapsto -{\tfrac {1}{\tau }}$. Тождества для первого преобразования найти легко, поскольку добавление единицы в показателе к $\tau$ имеет тот же эффект, что и добавление ${\tfrac {1}{2}}$ к z ($n\equiv n^{2}$ mod 2). Во втором случае положим

$\alpha =(-i\tau )^{\frac {1}{2}}\exp \left({\frac {\pi }{\tau }}iz^{2}\right).$

Тогда

${\begin{aligned}\vartheta _{00}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{00}(z;\tau )\quad &\vartheta _{01}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{10}(z;\tau )\\[3pt]\vartheta _{10}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{01}(z;\tau )\quad &\vartheta _{11}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=-i\alpha \,\vartheta _{11}(z;\tau ).\end{aligned}}$

Тета-функции в терминах нома

Вместо выражения тета-функций в терминах z и $\tau$ мы можем выразить их в терминах аргумента w и нома q, где $w=e^{\pi {i}z}$, а $q=e^{\pi {i}\tau }$. В этом случае функции превращаются в

${\begin{aligned}\vartheta _{00}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(w^{2})^{n}q^{n^{2}}\quad &\vartheta _{01}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}(w^{2})^{n}q^{n^{2}}\\[3pt]\vartheta _{10}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(w^{2})^{n+{\frac {1}{2}}}q^{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}\quad &\vartheta _{11}(w,q)&=i\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}(w^{2})^{n+{\frac {1}{2}}}q^{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}.\end{aligned}}$

Мы видим, что тета-функции можно определить в терминах w и q без прямой ссылки на экспоненциальную функцию. Формулы могут быть использованы, поэтому, для определения тета-функций над другими полями, где экспоненциальная функция может быть не везде определена, такими как поле p-адических чисел.

Представления произведений

Тройное произведение Якоби (специальный случай тождеств Макдональда) говорит нам, что для комплексных чисел w и q с $|q|<1$ и $w\neq 0$ мы имеем

$\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+w^{2}q^{2m-1}\right)\left(1+w^{-2}q^{2m-1}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n}q^{n^{2}}.$

Это можно доказать элементарными средствами, как, например, в книге Харди и Райта An Introduction to the Theory of Numbers.

Если мы выразим тета-функцию в терминах томов $q=e^{\pi {i}\tau }$ и $w=e^{\pi {i}z}$, то

$\vartheta (z;\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp(\pi i\tau n^{2})\exp(2\pi izn)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n}q^{n^{2}}.$

Мы поэтому получаем формулу произведения для тета-функции вида

$\vartheta (z;\tau )=\prod _{m=1}^{\infty }{\big (}1-\exp(2m\pi i\tau ){\big )}{\Big (}1+\exp {\big (}(2m-1)\pi i\tau +2\pi iz{\big )}{\Big )}{\Big (}1+\exp {\big (}(2m-1)\pi i\tau -2\pi iz{\big )}{\Big )}.$

В терминах w и q:

${\begin{aligned}\vartheta (z;\tau )&=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+q^{2m-1}w^{2}\right)\left(1+{\frac {q^{2m-1}}{w^{2}}}\right)\\&=\left(q^{2};q^{2}\right)_{\infty }\,\left(-w^{2}q;q^{2}\right)_{\infty }\,\left(-{\frac {q}{w^{2}}};q^{2}\right)_{\infty }\\&=\left(q^{2};q^{2}\right)_{\infty }\,\theta \left(-w^{2}q;q^{2}\right)\end{aligned}}$

где $(~~;~~)_{\infty }$ является q-символом Похгаммера, а $\theta (~~;~~)$ является q-тета-функцией. Если раскрыть скобки, тройное произведение Якоби получит вид

$\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right){\Big (}1+\left(w^{2}+w^{-2}\right)q^{2m-1}+q^{4m-2}{\Big )},$

что можно также переписать в виде

$\vartheta (z\mid q)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+2\cos(2\pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right).$

Эта формула верна для общего случая, но представляет особый интерес при вещественных z. Аналогичные формулы произведений для дополнительных тета-функций

${\begin{aligned}\vartheta _{01}(z\mid q)&=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1-2\cos(2\pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right),\\[3pt]\vartheta _{10}(z\mid q)&=2q^{\frac {1}{4}}\cos(\pi z)\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+2\cos(2\pi z)q^{2m}+q^{4m}\right),\\[3pt]\vartheta _{11}(z\mid q)&=-2q^{\frac {1}{4}}\sin(\pi z)\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1-2\cos(2\pi z)q^{2m}+q^{4m}\right).\end{aligned}}$

Целочисленные представления

Тета-функции Якоби имеют следующие интегральные представления:

${\begin{aligned}\vartheta _{00}(z;\tau )&=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2uz+\pi u)}{\sin(\pi u)}}}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{01}(z;\tau )&=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2uz)}{\sin(\pi u)}}}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{10}(z;\tau )&=-ie^{iz+{\frac {1}{4}}i\pi \tau }\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2uz+\pi u+\pi \tau u)}{\sin(\pi u)}}}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{11}(z;\tau )&=e^{iz+{\frac {1}{4}}i\pi \tau }\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2uz+\pi \tau u)}{\sin(\pi u)}}}\mathrm {d} u.\end{aligned}}$

Явные значения

См. статью Йи (2004).

${\begin{aligned}\varphi (e^{-\pi x})&=\vartheta (0;ix)=\theta _{3}(0;e^{-\pi x})=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-x\pi n^{2}}\\[6pt]\varphi \left(e^{-\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}\\[6pt]\varphi \left(e^{-2\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{6\pi +4{\sqrt {2}}\pi }}{2\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}\\[6pt]\varphi \left(e^{-3\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{27\pi +18{\sqrt {3}}\pi }}{3\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}\\[6pt]\varphi \left(e^{-4\pi }\right)&={\frac {{\sqrt[{4}]{8\pi }}+2{\sqrt[{4}]{\pi }}}{4\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}\\[6pt]\varphi \left(e^{-5\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{225\pi +100{\sqrt {5}}\pi }}{5\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}\\[6pt]\varphi \left(e^{-6\pi }\right)&={\frac {{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {2}}+3{\sqrt[{4}]{3}}+2{\sqrt {3}}-{\sqrt[{4}]{27}}+{\sqrt[{4}]{1728}}-4}}\cdot {\sqrt[{8}]{243{\pi }^{2}}}}{6{\sqrt[{6}]{1+{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}}}\;{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}}\end{aligned}}$

Некоторые тождества с рядами

Следующие два тождества для рядов доказал Иштван Мезо:

${\begin{aligned}\vartheta _{4}^{2}(q)&=iq^{\frac {1}{4}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }q^{2k^{2}-k}\vartheta _{1}\left({\frac {2k-1}{2i}}\ln q,q\right),\\[6pt]\vartheta _{4}^{2}(q)&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }q^{2k^{2}}\vartheta _{4}\left({\frac {k\ln q}{i}},q\right).\end{aligned}}$

Эти отношения выполняются для всех 0 < q < 1. Фиксируя значения q, мы получим следующие свободные от параметров суммы

${\begin{aligned}{\sqrt {\frac {\pi {\sqrt {e^{\pi }}}}{2}}}\cdot {\frac {1}{\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)}}&=i\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{\pi \left(k-2k^{2}\right)}\vartheta _{1}\left({\frac {i\pi }{2}}(2k-1),e^{-\pi }\right),\\[6pt]{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {1}{\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)}}&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {\vartheta _{4}\left(ik\pi ,e^{-\pi }\right)}{e^{2\pi k^{2}}}}\end{aligned}}$

Нули тета-функций Якоби

Все нули тета-функций Якоби являются простыми нулями и задаются следующим образом:

${\begin{aligned}\vartheta (z,\tau )=\vartheta _{3}(z,\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {1}{2}}+{\frac {\tau }{2}}\\[3pt]\vartheta _{1}(z,\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau \\[3pt]\vartheta _{2}(z,\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {1}{2}}\\[3pt]\vartheta _{4}(z,\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {\tau }{2}}\end{aligned}}$,

где m, n являются произвольными целыми.

Связь с дзета-функцией Римана

Соотношение

$\vartheta \left(0;-{\frac {1}{\tau }}\right)=(-i\tau )^{\frac {1}{2}}\vartheta (0;\tau )$

использовал Риман для доказательства функционального уравнения для дзета-функции Римана посредством преобразования Меллина

$\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\zeta (s)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\big (}\vartheta (0;it)-1{\big )}t^{\frac {s}{2}}{\frac {\mathrm {d} t}{t}}$

и можно показать, что преобразование инвариантно относительно замены s на 1 − s. Cоответствующий интеграл для z ≠ 0 дан в статье о дзета-функции Гурвица.

Связь с эллиптической функцией Вейерштрасса

Тета-функции использовал Якоби для построения (в виде, приспособленном для упрощения вычислений) его эллиптических функций как частные вышеприведённых четырёх тета-функций, и он мог их использовать также для построения эллиптических функций Вейерштрасса, поскольку

$\wp (z;\tau )=-{\big (}\log \vartheta _{11}(z;\tau ){\big )}''+c$,

где вторая производная берётся по z, а константа c определена так, что ряд Лорана функции ℘(z) в точке z = 0 имеет нулевой постоянный член.

Связь с q-гамма функцией

Четвёртая тета-функция – а тогда и остальные – неразрывно связана с q-гамма-функцией Джексона соотношением.

$\left(\Gamma _{q^{2}}(x)\Gamma _{q^{2}}(1-x)\right)^{-1}={\frac {q^{2x(1-x)}}{\left(q^{-2};q^{-2}\right)_{\infty }^{3}\left(q^{2}-1\right)}}\vartheta _{4}\left({\frac {1}{2i}}(1-2x)\log q,{\frac {1}{q}}\right).$

Связь с эта-функцией Дедекинда

Пусть $\eta (\tau )$ — эта-функция Дедекинда, а аргумент тета-функции представлен как ном $q=e^{\pi {i}\tau }$. Тогда

${\begin{aligned}\theta _{2}(0,q)=\vartheta _{10}(0;\tau )&={\frac {2\eta ^{2}(2\tau )}{\eta (\tau )}},\\[3pt]\theta _{3}(0,q)=\vartheta _{00}(0;\tau )&={\frac {\eta ^{5}(\tau )}{\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}\tau \right)\eta ^{2}(2\tau )}}={\frac {\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}(\tau +1)\right)}{\eta (\tau +1)}},\\[3pt]\theta _{4}(0,q)=\vartheta _{01}(0;\tau )&={\frac {\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}\tau \right)}{\eta (\tau )}},\end{aligned}}$

и

$\theta _{2}(0,q)\,\theta _{3}(0,q)\,\theta _{4}(0,q)=2\eta ^{3}(\tau ).$

См. также статью о модулярных функциях Вебера.

Эллиптический модуль

J-инвариант равен

$k(\tau )={\frac {\vartheta _{10}(0,\tau )^{2}}{\vartheta _{00}(0,\tau )^{2}}}$,

а дополнительный эллиптический модуль равен

$k'(\tau )={\frac {\vartheta _{01}(0,\tau )^{2}}{\vartheta _{00}(0,\tau )^{2}}}$

Решение теплового уравнения

Тета-функция Якоби является фундаментальным решением одномерного уравнения теплопроводности с пространственными периодическими граничными условиями. Принимая $z=x$ вещественным, а $\tau =it$ с вещественным и положительным t, мы можем записать

$\vartheta (x,it)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }\exp \left(-\pi n^{2}t\right)\cos(2\pi nx)$,

что решает уравнение теплопроводности

${\frac {\partial }{\partial t}}\vartheta (x,it)={\frac {1}{4\pi }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\vartheta (x,it).$

Это решение в виде тета-функции является 1-периодическим по x, и при $t\to 0$ оно стремится к периодической дельта-функции или гребню Дирака в смысле распределений

$\lim _{t\rightarrow 0}\vartheta (x,it)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-n)$.

Общие решения для задачи с пространственными периодическими начальными значениями для уравнения теплопроводности могут быть получены путём свёртки начальных данных в $t=0$ с тета-функцией.

Связь с группой Гейзенберга

Тета-функция Якоби является инвариантом при действии дискретной подгруппы группы Гейзенберга. Эта инвариантность представлена в статье о тета-представлении группы Гейзенберга.

Обобщения

Если F является квадратичной формой от n переменных, то тета-функция, связанная с F, равна

$\theta _{F}(z)=\sum _{m\in \mathbb {Z} ^{n}}e^{2\pi izF(m)}$

с суммой по решётке целых чисел ℤⁿ. Эта тета-функция является модулярной формой с весом ${\tfrac {n}{2}}$ (на надлежащим образом определённой подгруппе) модулярной группы. В разложении в ряд Фурье

${\hat {\theta }}_{F}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }R_{F}(k)e^{2\pi ikz},$

числа $R_{F}(k)$ называются числами представления формы.

Риманова тета-функция

Пусть

$\mathbb {H} _{n}=\left\{F\in M(n,\mathbb {C} )\,{\big |}\,F=F^{\mathsf {T}}\,,\,\operatorname {Im} F>0\right\}$

является множеством симметричных квадратных матриц, мнимая часть которых положительно определена. ℍ_n называется верхним полупространством Зигеля и является многомерным аналогом верхней полуплоскости. n-Мерным аналогом модулярной группы является симплектическая группа Sp(2n,ℤ). Для $n=1~~~\mathrm {Sp} (2,\mathbb {Z} )=\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )$. Роль n-мерного аналога конгруэнтных подгрупп играет

$\ker {\big \{}\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {Z} )\rightarrow \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} ){\big \}}.$

Тогда, если дано $\tau \in \mathbb {H} _{n}$, тета-функция Римана определяется как

$\theta (z,\tau )=\sum _{m\in \mathbb {Z} ^{n}}\exp {\bigg (}2\pi i\left({\tfrac {1}{2}}m^{\mathsf {T}}\tau m+m^{\mathsf {T}}z\right){\bigg )}.$

Здесь $z\in \mathbb {C} _{n}$ является n-мерным комплексным вектором, а верхний индекс T означает транспонирование. Тета-функция Якоби является тогда частным случаем с $n=1$ и $\tau \in \mathbb {H}$, где $\mathbb {H}$ является верхней полуплоскостью.

Тета-функция Римана сходится абсолютно и равномерно на компактных подмножествах $\mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {H} _{n}$.

Функциональное уравнение функции

$\theta (z+a+\tau b,\tau )=\exp 2\pi i\left(-b^{\mathsf {T}}z-{\tfrac {1}{2}}b^{\mathsf {T}}\tau b\right)\theta (z,\tau )$

которое выполняется для всех векторов $a,b\in \mathbb {Z} ^{n}$ и для всех $z\in \mathbb {C} ^{n}$}} и $\tau \in \mathbb {H} _{n}$.

Ряд Пуанкаре

Ряд Пуанкаре обобщает тета-ряд на автоморфные формы применительно к произвольным фуксовым группам.

Литература для дальнейшего чтения

• Тета-функции, Якоби эллиптические функции // Математическая энциклопедия / Виноградов И. В.. — Советская энциклопедия, 1985. — Т. 5. — (Энциклопедии, словари, справочники).
• Прасолов В. В., Соловьёв Ю. П. Алгебраические уравнения и тета-функции. — М.: МК НМУ, 1994.

• Hershel M. Farkas. Theta functions in complex analysis and number theory // Surveys in Number Theory / Krishnaswami Alladi. — Springer-Verlag, 2008. — Т. 17. — С. 57–87. — (Developments in Mathematics). — ISBN 978-0-387-78509-7.
• Bruno Schoeneberg. IX. Theta series // Elliptic modular functions. — Springer-Verlag, 1974. — Т. 203. — С. 203–226. — (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften). — ISBN 3-540-06382-X.
• Тюрин А. Н. Квантование, классическая и квантовая теория поля и тета-функции. — М., 2003.

Ссылки

• Moiseev Igor. Elliptic functions for Matlab and Octave (неопр.).