Ультраметрическое пространство

Ультраметрическое пространство — особый случай метрического пространства, в котором метрика удовлетворяет усиленному неравенству треугольника:

d(x,z)\leqslant \max\{d(x,y),d(y,z)\}

Такую метрику называют ультраметрикой. Проще говоря, в ультраметрическом пространстве нельзя получить большее расстояние, складывая меньшие, то есть не соблюдается «принцип Архимеда».

Определение[править | править код]

Ультраметрическое пространство — это пара $(M,d)$ , где $M$ — множество, а $d\colon M\times M\to \mathbb {R}$ — вещественнозначная функция на нём, также называемая метрикой, удовлетворяющая следующим условиям:

$d(x,y)\geqslant 0,d(x,y)=0\iff x=y$ (положительная определённость)
$d(x,y)=d(y,x)$ (симметричность)
$d(x,z)\leqslant \max\{d(x,y),d(y,z)\}$ (сильное неравенство треугольника)

Ультраметрическое пространство отличается от метрического тем, что неравенство треугольника заменено на усиленное неравенство треугольника.

Свойства[править | править код]

Всякий треугольник является равнобедренным, причём если не все его стороны равны, то одна — короче, чем две других.
Всякая точка шара является его центром.
Если два шара имеют общую точку, то либо они совпадают, либо один целиком содержит другой.
Топология ультраметрического пространства является вполне разрывной.

Примеры[править | править код]

Дискретная метрика (то есть расстояние между двумя точками равно 0, если они совпадают, и 1 если не совпадают) является ультраметрикой.
Метрика на $1,2,\dots ,n,\dots$ такая, что $d(n,m)=d_{n}$ при $n<m$ , и $d_{1}\geqslant d_{2}\geqslant ...d_{n}\geqslant ...\geqslant 0$ .
Множество слов произвольной длины некоторого алфавита $\Sigma$ с ультраметрикой, заданной как $d(a,b)=2^{-n}$ , где $n$ — номер первого символа, различного в словах $a$ и $b$ .
p-адические числа образуют ультраметрическое пространство с естественной ультраметрикой.
Модели, наделённые естественной ультраметрикой, возникают в теории информации при исследовании последовательностей символов и в физике твёрдого тела при изучении спиновых стёкол.