Метрическое пространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Метри́ческим простра́нством называется множество, в котором между любой парой элементов определено обладающее определенными свойствами расстояние, называемое ме́трикой.

Определения[править | править вики-текст]

Метрическое пространство есть пара , где — множество, а — числовая функция, которая определена на декартовом произведении , принимает значения в множестве вещественных чисел, и такова, что

  1. (аксиома тождества).
  2. (аксиома симметрии).
  3. (аксиома треугольника или неравенство треугольника).

При этом

  • множество называется подлежащим множеством метрического пространства.
  • элементы множества называются точками метрического пространства.
  • функция называется метрикой.

Замечания[править | править вики-текст]

  • Из аксиом следует неотрицательность функции расстояния, поскольку
    .
  • Если неравенство треугольника представить в виде
    для всех и ,
тогда из аксиомы тождества и неравенства треугольника следует аксиома симметрии.

Обозначения[править | править вики-текст]

Обычно расстояние между точками и в метрическом пространстве обозначается или .

  • В метрической геометрии принято обозначение или , если необходимо подчеркнуть что речь идет о . Реже употребляются обозначения и .
  • В классической геометрии приняты обозначения или (точки обычно обозначают заглавными латинскими буквами).

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Биекция между различными метрическими пространствами и , сохраняющая расстояния, называется изометрией; **В этом случае пространства и называются изометричными.
  • Если подмножество множества , то, рассматривая сужение метрики на множество , можно получить метрическое пространство , которое называется подпространством пространства .
  • Метрическое пространство называется полным, если любая фундаментальная последовательность в нём сходится к некоторому элементу этого пространства.

  • Метрика на называется внутренней, если любые две точки и в можно соединить кривой с длиной, произвольно близкой к .
    • Пространство называется геодезическим если любые две точки и в можно соединить кривой с длиной равной .
  • Любое метрическое пространство обладает естественной топологией, базой для которой служит множество открытых шаров, то есть множеств следующего типа:
где есть точка в и — положительное вещественное число, называемое радиусом шара. Иначе говоря, множество является открытым, если вместе с любой своей точкой оно содержит открытый шар с центром в этой точке.
  • Две метрики, определяющие одну и ту же топологию, называются эквивалентными.
  • Топологическое пространство, которое может быть получено таким образом, называется метризируемым.
  • Расстояние от точки до подмножества в определяется по формуле:
Тогда , только если принадлежит замыканию .

Примеры[править | править вики-текст]

  • Дискретная метрика: , если , и во всех остальных случаях.
  • Вещественные числа с функцией расстояния и евклидово пространство являются полными метрическими пространствами.
  • Расстояние городских кварталов: , где ,  — векторы.
  • Пусть  — пространство непрерывных и ограниченных отображений из топологического пространства в метрическое пространство . Расстояние между двумя отображениями и из этого пространства определяется как
Сходимость отображений по этой метрике равнозначна их равномерной сходимости на всём пространстве .
В частном случае, когда  — компактное пространство,  — числовая прямая, получается пространство всех непрерывных функций на пространстве X с метрикой равномерной сходимости.
  • Пусть , ,  — пространства функций на отрезке , соответственно интегрируемых по Лебегу, интегрируемых по Риману, и непрерывных. В них расстояние можно определить по формуле:
Для того, чтобы эта функция стала метрикой, в первых двух пространствах необходимо отождествить функции, отличающиеся на множестве меры 0. В противном случае эта функция будет всего лишь полуметрикой. (В пространстве функций, непрерывных на отрезке, функции, отличающиеся на множестве меры 0, и так совпадают.)
  • В пространстве k раз непрерывно дифференцируемых функций метрика вводится по формуле:
где  — метрика равномерной сходимости на (см. выше).
  • Любое связное риманово многообразие можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние как точную нижнюю грань длин путей, соединяющих пару точек.
  • Множество вершин любого связного графа можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние как минимальное число рёбер в пути, соединяющем вершины. Более общо: если каждому рёбру графа приписать положительное число (длину ребра), расстояние между вершинами можно определить как минимальную сумму длин рёбер вдоль любых путей из одной вершины в другую.
  • Частным случаем предыдущего примера является так называемая французская железнодорожная метрика, которую нередко приводят в качестве примера метрики, не порождённой нормой.
  • Множество компактных подмножеств любого метрического пространства можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемой метрики Хаусдорфа. В этой метрике два подмножества близки друг к другу, если для любой точки одного множества можно найти близкую точку в другом подмножестве. Вот точное определение:
  • Множество всех компактных метрических пространств (с точностью до изометрии) можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемой метрики Громова — Хаусдорфа.

Конструкции[править | править вики-текст]

  • Декартово произведение метрических пространств может быть наделено структурой метрического пространства многими способами, например:
Эти метрики эквивалентны друг другу.


Свойства[править | править вики-текст]

  • Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда из любой последовательности точек можно выбрать сходящуюся подпоследовательность (секвенциальная компактность).
  • Метрическое пространство может не иметь счётной базы, но всегда удовлетворяет первой аксиоме счётности — имеет счётную базу в каждой точке.
    • Более того, каждый компакт в метрическом пространстве имеет счётную базу окрестностей.
    • Сверх того, в каждом метрическом пространстве существует такая база, что каждая точка пространства принадлежит лишь счётному множеству её элементов — точечно-счётная база (но это свойство слабее метризуемости даже в присутствии паракомпактности и хаусдорфовости).

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

  • Для данного множества , функция называется псевдометрикой или полуметрикой на если для любых точек из она удовлетворяет следующим условиям:
    1. (симметрия);
    2. (неравенство треугольника).
То есть, в отличие от метрики, различные точки в могут находиться на нулевом расстоянии. Псевдометрика естественно определяет метрику на факторпространстве , где .
  • Для данного множества , функция называется квазиметрикой если для любых точек из она удовлетворяет следующим условиям:
    1. (квази симметрия);
    2. (обобщённое неравенство треугольника).
  • Метрика на пространстве называется ультраметрикой, если она удовлетворяет сильному неравенству треугольника:
    Для всех , и в .
  • Иногда удобно рассматривать -метрики, то есть метрики со значениями . Для любой -метрики можно построить конечную метрику которая определяет ту же топологию. Например
    или
Также, для любой точки такого пространства, множество точек находящихся от неё на конечном расстоянии образует обычное метрическое пространство называемое метрической компонентой . В частности, любое пространство с -метрикой можно рассматривать как набор обычных метрических пространств и определить расстояние между любой парой точек в разных пространствах равным .

История[править | править вики-текст]

Морис Фреше впервые ввёл понятие метрического пространства[1] в связи с рассмотрением функциональных пространств.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Fréchet M. Sur quelques points du calcul fonctionnel. — Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. — 1906. — 22. — pp. 1—74.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]