Универсум Гротендика

Униве́рсум Гротенди́ка в математике — непустое множество ${\mathcal {U}}$, такое что:

1. если $x\in {\mathcal {U}}$ и $y\in x$, то $y\in {\mathcal {U}}$;
2. если $x,y\in {\mathcal {U}}$, то $\{x,y\}\in {\mathcal {U}}$;
3. если $x\in {\mathcal {U}}$, то ${\mathcal {P}}(x)\in {\mathcal {U}}$;
4. если $(x_{i},i\in I)$ — семейство элементов ${\mathcal {U}}$ и $I\in {\mathcal {U}}$, то $\bigcup _{i\in I}x_{i}\in {\mathcal {U}}$.

Универсумы Гротендика используются в теории категорий в качестве альтернативы собственным классам. Идея универсумов принадлежит Александру Гротендику, который впервые описал их и применил в теории топосов на семинаре SGA.

Свойства

Следующие свойства универсумов Гротендика следуют сразу же из определения:

• если $x\in {\mathcal {U}}$, то одноэлементное множество $\{x\}$ также принадлежит ${\mathcal {U}}$;
• если $x\in {\mathcal {U}}$ и $y$ — подмножество в $x$, то $y\in {\mathcal {U}}$;
• если $x,y\in {\mathcal {U}}$, то упорядоченная пара $(x,y)$ также принадлежит ${\mathcal {U}}$;
• если $x,y\in {\mathcal {U}}$, то объединение $x\cup y$ и декартово произведение $x\times y$ принадлежат ${\mathcal {U}}$;
• если $(x_{i},i\in I)$ — семейство элементов ${\mathcal {U}}$ и $I\in {\mathcal {U}}$, то $\prod _{i\in I}x_{i}\in {\mathcal {U}}$;
• если $x\in {\mathcal {U}}$, то $card(x)<card({\mathcal {U}})$ (в частности, универсум Гротендика не является своим собственным элементом).

Аксиома об универсумах

В SGA4 вводится следующая аксиома об универсумах:

• Для любого множества $x$ существует универсум ${\mathcal {U}}$ такой, что $x\in {\mathcal {U}}$.

Связанные определения

Пусть выбран некоторый универсум Гротендика ${\mathcal {U}}$.

• Множество $x$ называется ${\mathcal {U}}$-малым, если $x\in {\mathcal {U}}$;
• Категория $\mathbf {C}$ называется ${\mathcal {U}}$-малой, если множества её объектов и морфизмов являются ${\mathcal {U}}$-малыми;
• Категория $\mathbf {C}$ называется локально ${\mathcal {U}}$-малой, если все её hom-множества являются ${\mathcal {U}}$-малыми.

В частности, категория ${\mathcal {U}}-\mathbf {Set}$ всех ${\mathcal {U}}$-малых множеств не является ${\mathcal {U}}$-малой, но является локально ${\mathcal {U}}$-малой.