Формула Тейлора — Пеано

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Формула ТейлораПеано Пусть , — предельная точка множества и . Если функция -дифференцируема в точке , то для всех справедлива формула Тейлора — Пеано

(1)

где εn(z) — непрерывная в точке z0 функция и εn(z0) = 0. Применим метод математической индукции. Если n = 0, то утверждение очевидно при εn(z) = f(z) − f(z0). Предположим, что утверждение теоремы справедливо после замены n на n − 1 и что функция f n раз дифференцируема в смысле Ферма-Лагранжа в точке z0. Согласно определению, существует такая n − 1 дифференцируемая в смысле Ферма-Лагранжа в точке z0 функция φ, что ∀z ∈ Df,

По предположению

где - непрерывная в точке z0 функция и . Из равенств (2) и (3) получаем:

что равносильно формуле (1) при .

Литература[править | править вики-текст]

А.К.Боярчук "Функции комплексного переменного: теория и практика" Справочное пособие по высшей математике. Т.4 М.:Едиториал УРСС, 2001. - 352с.