Формула монотонности

Формула монотонности — классическая теорема о минимальных поверхностях. Она утверждает в частности, что площадь пересечения минимальной поверхности без границы с шаром с центром на поверхности не может быть меньше площади круга того же радиуса.

Формулировка

Предположим $M$ есть $k$-мерная минимальная поверхность в евклидовом пространстве и $p\in M$. Обозначим через $R$ минимальное расстояние от $p$ до границы $M$.

Тогда функция

$r\mapsto {\frac {\mathrm {S} (M\cap B_{r}(p))}{r^{m}}}$

монотонно возрастает в интервале $[0,R]$; здесь $\mathrm {S}$ обозначает $k$-мерную площадь и $B_{r}(p)$ — шар радиуса $r$ с центром в $p$.

Следствия

• Для $M$, $p$ и $R$ как в формулировке выполняется неравенство

  $\mathrm {S} (M\cap B_{r}(p))\geq \omega _{k}\cdot r^{m},$

при $r\leq R$; здесь $\omega _{k}$ обозначает объём единичного шара в $k$-мерном евклидовом пространстве.

• Более того, если $p$ является точкой самопересечения то

$\mathrm {S} (M\cap B_{r}(p))\geq 2\cdot \omega _{k}\cdot r^{m},$

при $r\leq R$.

Применения

• Эколм и Уайт применили формулу монотонности в доказательстве того, что минимальная поверхность натянутая на контур с вариацией поворота 4π или меньше является вложенной.
• Бренде и Хунг применили обобщённую формулу монотонности для оценки площади пересечения минимальной поверхности с шаром центр которого находится вне поверхности.

Литература

• S. Brendle, P.K. Hung. Area bounds for minimal surfaces that pass through a prescribed point in a ball (англ.) // arXiv:1607.04631 [math.DG].

• Ekholm T., White B., Wienholtz, D. Embeddedness of minimal surfaces with total boundary curvature at most 4π (англ.) // Ann. Math.. — 2002. — P. 209–234.