Формулы Френеля

Переменные, используемые в уравнениях Френеля

Частичное пропускание и отражение амплитуды волны, бегущей в среде от низкого к высокому преломляющему индексу

Фо́рмулы Френе́ля определяют амплитуды и интенсивности преломлённой и отражённой электромагнитной волны при прохождении через плоскую границу раздела двух сред с разными показателями преломления. Названы в честь Огюста Френеля, французского физика, который их вывел. Отражение света, описываемое формулами Френеля, называется френелевским отражением.

Формулы Френеля справедливы в том случае, когда граница раздела двух сред гладкая, среды изотропны, угол отражения равняется углу падения, а угол преломления определяется законом Снеллиуса. В случае неровной поверхности, особенно когда характерные размеры неровностей одного порядка с длиной волны, большое значение имеет диффузное отражение света на поверхности.

При падении на плоскую границу различают две поляризации света. s-Поляризация — это поляризация света, для которой напряжённость электрического поля электромагнитной волны перпендикулярна плоскости падения (т.е. плоскости, в которой лежат и падающий, и отражённый луч). p-Поляризация — поляризация света, для которой вектор напряжённости электрического поля лежит в плоскости падения.

Формулы Френеля для s-поляризации и p-поляризации различаются. Поскольку свет с разными поляризациями по-разному отражается от поверхности, то отражённый свет всегда частично поляризован, даже если падающий свет неполяризован. Угол падения, при котором отражённый луч полностью поляризован, называется углом Брюстера; он зависит от отношения показателей преломления сред, образующих границу раздела.

s-Поляризация

s-Поляризация — это поляризация света, для которой вектор напряжённости электрического поля электромагнитной волны перпендикулярен плоскости падения (т.е. плоскости, в которой лежат и падающий, и отражённый луч).

$\left\{{\begin{matrix}S={\cfrac {2}{1+{\cfrac {\mu _{1}\mathrm {tg\,} \alpha }{\mu _{2}\mathrm {tg\,} \beta }}}}P\;\Leftrightarrow \;S={\cfrac {2\cos \alpha \sin \beta }{\sin(\alpha +\beta )}}P\;\Leftrightarrow \;S={\cfrac {2n_{1}\cos \alpha }{n_{1}\cos \alpha +n_{2}\cos \beta }}P\\\;\\Q={\cfrac {1-{\cfrac {\mu _{1}\mathrm {tg\,} \alpha }{\mu _{2}\mathrm {tg\,} \beta }}}{1+{\cfrac {\mu _{1}\mathrm {tg\,} \alpha }{\mu _{2}\mathrm {tg\,} \beta }}}}P\;\Leftrightarrow \;Q=-{\cfrac {\sin(\alpha -\beta )}{\sin(\alpha +\beta )}}P\;\Leftrightarrow \;Q={\cfrac {n_{1}\cos \alpha -n_{2}\cos \beta }{n_{1}\cos \alpha +n_{2}\cos \beta }}P\end{matrix}}\right.$$\left\{{\begin{matrix}S={\cfrac {2}{1+{\cfrac {\mu _{1}{\mathrm {tg\,}}\alpha }{\mu _{2}{\mathrm {tg\,}}\beta }}}}P\;\Leftrightarrow \;S={\cfrac {2\cos \alpha \sin \beta }{\sin(\alpha +\beta )}}P\;\Leftrightarrow \;S={\cfrac {2n_{1}\cos \alpha }{n_{1}\cos \alpha +n_{2}\cos \beta }}P\\\;\\Q={\cfrac {1-{\cfrac {\mu _{1}{\mathrm {tg\,}}\alpha }{\mu _{2}{\mathrm {tg\,}}\beta }}}{1+{\cfrac {\mu _{1}{\mathrm {tg\,}}\alpha }{\mu _{2}{\mathrm {tg\,}}\beta }}}}P\;\Leftrightarrow \;Q=-{\cfrac {\sin(\alpha -\beta )}{\sin(\alpha +\beta )}}P\;\Leftrightarrow \;Q={\cfrac {n_{1}\cos \alpha -n_{2}\cos \beta }{n_{1}\cos \alpha +n_{2}\cos \beta }}P\end{matrix}}\right.$

где

$\alpha$$\alpha$ — угол падения,

$\beta$$\beta$ — угол преломления,

$\mu _{1}$$\mu _{1}$ — магнитная проницаемость среды, из которой падает волна,

$\mu _{2}$$\mu _{2}$ — магнитная проницаемость среды, в которую волна проходит,

$P$$P$ — амплитуда волны, которая падает на границу раздела,

$Q$$Q$ — амплитуда отражённой волны,

$S$$S$ — амплитуда преломлённой волны.

В оптическом диапазоне частот $\mu =1$$\mu =1$ с хорошей точностью и выражения упрощаются до указанных после стрелок.

Углы падения и преломления для $\mu =1$$\mu =1$ связаны между собой законом Снеллиуса

${\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}={\frac {n_{2}}{n_{1}}}.$${\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}={\frac {n_{2}}{n_{1}}}.$

Отношение $n_{21}={\cfrac {n_{2}}{n_{1}}}$$n_{{21}}={\cfrac {n_{2}}{n_{1}}}$ называется относительным показателем преломления двух сред.

Коэффициент отражения

$R_{s}={\frac {|Q|^{2}}{|P|^{2}}}={\frac {\sin ^{2}(\alpha -\beta )}{\sin ^{2}(\alpha +\beta )}}.$$R_{s}={\frac {|Q|^{2}}{|P|^{2}}}={\frac {\sin ^{2}(\alpha -\beta )}{\sin ^{2}(\alpha +\beta )}}.$

Коэффициент пропускания

$T_{s}=1-R_{s}.$$T_{s}=1-R_{s}.$

Обратите внимание, коэффициент пропускания не равен ${\frac {|S|^{2}}{|P|^{2}}}$${\frac {|S|^{2}}{|P|^{2}}}$, так как волны одинаковой амплитуды в разных средах несут разную энергию.

p-Поляризация

p-Поляризация — поляризация света, для которой вектор напряжённости электрического поля лежит в плоскости падения.

$\left\{{\begin{matrix}S=2{\sqrt {\cfrac {\mu _{1}\varepsilon _{1}}{\mu _{2}\varepsilon _{2}}}}\cdot {\cfrac {\sin 2\alpha }{{\cfrac {\mu _{1}}{\mu _{2}}}\sin 2\alpha +\sin 2\beta }}P\;\Leftrightarrow \;{\cfrac {2\cos \alpha \sin \beta }{\sin(\alpha +\beta )\cos(\alpha -\beta )}}P,\\\;\\Q={\cfrac {{\cfrac {\mu _{1}}{\mu _{2}}}\sin 2\alpha -\sin 2\beta }{{\cfrac {\mu _{1}}{\mu _{2}}}\sin 2\alpha +\sin 2\beta }}P\;\Leftrightarrow \;{\cfrac {\mathrm {tg\,} (\beta -\alpha )}{\mathrm {tg\,} (\alpha +\beta )}}P,\end{matrix}}\right.$$\left\{{\begin{matrix}S=2{\sqrt {\cfrac {\mu _{1}\varepsilon _{1}}{\mu _{2}\varepsilon _{2}}}}\cdot {\cfrac {\sin 2\alpha }{{\cfrac {\mu _{1}}{\mu _{2}}}\sin 2\alpha +\sin 2\beta }}P\;\Leftrightarrow \;{\cfrac {2\cos \alpha \sin \beta }{\sin(\alpha +\beta )\cos(\alpha -\beta )}}P,\\\;\\Q={\cfrac {{\cfrac {\mu _{1}}{\mu _{2}}}\sin 2\alpha -\sin 2\beta }{{\cfrac {\mu _{1}}{\mu _{2}}}\sin 2\alpha +\sin 2\beta }}P\;\Leftrightarrow \;{\cfrac {{\mathrm {tg\,}}(\beta -\alpha )}{{\mathrm {tg\,}}(\alpha +\beta )}}P,\end{matrix}}\right.$

Обозначения сохраняются с предыдущего раздела; выражения после стрелок вновь соответствуют случаю $\mu _{1}=\mu _{2}$$\mu _{1}=\mu _{2}$.

Коэффициент отражения

$R_{p}={\cfrac {{\text{tg}}^{2}(\alpha -\beta )}{{\text{tg}}^{2}(\alpha +\beta )}}.$$R_{p}={\cfrac {{\text{tg}}^{2}(\alpha -\beta )}{{\text{tg}}^{2}(\alpha +\beta )}}.$

Коэффициент пропускания

$T_{p}={\cfrac {\sin 2\alpha \sin 2\beta }{\sin ^{2}(\alpha +\beta )\cos ^{2}(\alpha -\beta )}}.$$T_{p}={\cfrac {\sin 2\alpha \sin 2\beta }{\sin ^{2}(\alpha +\beta )\cos ^{2}(\alpha -\beta )}}.$

Нормальное падение

В важном частном случае нормального падения света исчезает разница в коэффициентах отражения и пропускания для p- и s-поляризованных волн. Для нормального падения

$R_{s}=\left|{\frac {n_{2}-n_{1}}{n_{2}+n_{1}}}\right|^{2},$$R_{s}=\left|{\frac {n_{2}-n_{1}}{n_{2}+n_{1}}}\right|^{2},$

$T_{s}={\frac {4n_{1}n_{2}}{(n_{2}+n_{1})^{2}}}.$$T_s = \frac{4 n_1 n_2 }{(n_2+n_1)^2}.$

Литература

• Сивухин Д. В. Общий курс физики. — М.. — Т. IV. Оптика.
• Борн М., Вольф Э. Основы оптики. — «Наука», 1973.
• Колоколов А. А. Формулы Френеля и принцип причинности // УФН. — 1999. — Т. 169. — С. 1025.