Формулы Френеля

Переменные, используемые в уравнениях Френеля

Частичное пропускание и отражение амплитуды волны, бегущей в среде от низкого к высокому преломляющему индексу

Фо́рмулы Френе́ля определяют амплитуды и интенсивности преломлённой и отражённой электромагнитной волны при прохождении через плоскую границу раздела двух сред с разными показателями преломления. Названы в честь Огюста Френеля, французского физика, который их вывел. Отражение света, описываемое формулами Френеля, называется френелевским отражением.

Формулы Френеля справедливы в том случае, когда граница раздела двух сред гладкая, среды изотропны, угол отражения равняется углу падения, а угол преломления определяется законом Снеллиуса. В случае неровной поверхности, особенно когда характерные размеры неровностей одного порядка с длиной волны, большое значение имеет диффузное рассеяние света на поверхности.

При падении на плоскую границу различают две поляризации света. s-Поляризация — это поляризация света, для которой напряжённость электрического поля электромагнитной волны перпендикулярна плоскости падения (т.е. плоскости, в которой лежат и падающий, и отражённый луч). p-Поляризация — поляризация света, для которой вектор напряжённости электрического поля лежит в плоскости падения.

Формулы Френеля для s-поляризации и p-поляризации различаются. Поскольку свет с разными поляризациями по-разному отражается от поверхности, то отражённый свет всегда частично поляризован, даже если падающий свет неполяризован. Угол падения, при котором отражённый луч полностью поляризован, называется углом Брюстера; он зависит от отношения показателей преломления сред, образующих границу раздела.

s-Поляризация

s-Поляризация — это поляризация света, для которой вектор напряжённости электрического поля электромагнитной волны перпендикулярен плоскости падения (т.е. плоскости, в которой лежат и падающий, и отражённый луч).

$\left \{ \begin{matrix} S = \cfrac{2}{1+\cfrac{\mu_1\mathrm{tg\,}\alpha}{\mu_2\mathrm{tg\,}\beta}}P \; \Leftrightarrow \; S = \cfrac{2\cos\alpha\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}P \; \Leftrightarrow \; S = \cfrac{2n_1\cos\alpha}{n_1\cos\alpha +n_2\cos\beta}P \\ \; \\ Q = \cfrac{1-\cfrac{\mu_1\mathrm{tg\,}\alpha} {\mu_2\mathrm{tg\,}\beta}}{1+\cfrac{\mu_1\mathrm{tg\,}\alpha}{\mu_2\mathrm{tg\,}\beta}}P \; \Leftrightarrow \; Q = -\cfrac{\sin(\alpha-\beta)}{\sin(\alpha+\beta)}P \; \Leftrightarrow \; Q = \cfrac{n_1\cos\alpha-n_2\cos\beta}{n_1\cos\alpha +n_2\cos\beta}P \end{matrix} \right.$

где

$\alpha$ — угол падения,

$\beta$ — угол преломления,

$\mu_1$ — магнитная проницаемость среды, из которой падает волна,

$\mu_2$ — магнитная проницаемость среды, в которую волна проходит,

$P$ — амплитуда волны, которая падает на границу раздела,

$Q$ — амплитуда отражённой волны,

$S$ — амплитуда преломлённой волны.

В оптическом диапазоне частот $\mu=1$ с хорошей точностью и выражения упрощаются до указанных после стрелок.

Углы падения и преломления для $\mu=1$ связаны между собой законом Снеллиуса

$\frac{\sin\alpha}{\sin\beta} = \frac{n_2}{n_1}.$

Отношение $n_{21} = \cfrac {n_2} {n_1}$ называется относительным показателем преломления двух сред.

Коэффициент отражения

$R_s = \frac{|Q|^2}{|P|^2} = \frac{\sin^2(\alpha -\beta)}{\sin^2(\alpha + \beta)}.$

Коэффициент пропускания

$T_s = 1 - R_s.$

Обратите внимание, коэффициент пропускания не равен $\frac{|S|^2}{|P|^2}$, так как волны одинаковой амплитуды в разных средах несут разную энергию.

p-Поляризация

p-Поляризация — поляризация света, для которой вектор напряжённости электрического поля лежит в плоскости падения.

$\left \{ \begin{matrix} S = 2\sqrt\cfrac{\mu_1\varepsilon_1}{\mu_2\varepsilon_2} \cdot \cfrac{\sin 2\alpha}{\cfrac{\mu_1}{\mu_2}\sin2\alpha+\sin 2\beta}P \; \Leftrightarrow \; \cfrac{2\cos \alpha\sin \beta}{\sin(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)}P, \\ \; \\ Q = \cfrac{\cfrac{\mu_1}{\mu_2}\sin2\alpha-\sin 2\beta}{\cfrac{\mu_1}{\mu_2}\sin2\alpha+\sin 2\beta}P \; \Leftrightarrow \; \cfrac{\mathrm{tg\,}(\beta-\alpha)}{\mathrm{tg\,}(\alpha+\beta)}P, \end{matrix} \right.$

Обозначения сохраняются с предыдущего раздела; выражения после стрелок вновь соответствуют случаю $\mu_1=\mu_2$.

Коэффициент отражения

$R_p = \cfrac{\text{tg}^2(\alpha -\beta)}{\text{tg}^2(\alpha + \beta)}.$

Коэффициент пропускания

$T_p = \cfrac{\sin2\alpha \sin2\beta}{\sin^2(\alpha + \beta)\cos^2(\alpha - \beta)}.$

Нормальное падение

В важном частном случае нормального падения света исчезает разница в коэффициентах отражения и пропускания для p- и s-поляризованных волн. Для нормального падения

$R_s = \left| \frac{n_2-n_1}{n_2+n_1}\right|^2,$

$T_s = \frac{4 n_1 n_2}{(n_2+n_1)^2}.$

Литература

• Сивухин Д. В. Общий курс физики. — М.. — Т. IV. Оптика.
• Борн М., Вольф Э. Основы оптики. — «Наука», 1973.
• Колоколов А. А. Формулы Френеля и принцип причинности // УФН. — 1999. — Т. 169. — С. 1025.