Функтор обратного образа

Функтор обратного образа — это ковариантная конструкция пучков. Функтор прямого образа является первичной операцией на пучках, с простым определением. Обратный образ обладает более тонкими свойствами.

Определение[править | править код]

Пусть нам дан пучок ${\mathcal {G}}$ на $Y$ и мы хотим перенести ${\mathcal {G}}$ на $X$ , используя непрерывное отображение $f\colon X\to Y$ .

Мы будем называть результат обратным образом $f^{-1}{\mathcal {G}}$ . Если мы попытаемся имитировать определение прямого образа и положим

f^{-1}{\mathcal {G}}(U)={\mathcal {G}}(f(U)),

для каждого открытого множества $U$ в $X$ , мы немедленно столкнёмся с проблемой: $f(U)$ не обязательно открыто. Лучшее, что мы можем сделать — это приблизить его открытыми множествами, и даже в этом случае мы получим предпучок, а не пучок. Таким образом, мы определяем $f^{-1}{\mathcal {G}}$ как пучок, ассоциированный с предпучком

U\mapsto \varinjlim _{V\supseteq f(U)}{\mathcal {G}}(V).

(Здесь $U$ — открытое подмножество $X$ и копредел берётся по всем открытым подмножествам $V$ пространства $Y$ , сожержащим $f(U)$ .)

Например, если $f$ — это просто вложение точки $y$ в $Y$ , то $f^{-1}({\mathcal {F}})$ — это слой пучка ${\mathcal {F}}$ в этой точке.

Существование отображений ограничения, как и функториальность обратного образа, следуют из универсального свойства прямых пределов.

Когда рассматриваются морфизмы локально окольцованных пространств $f\colon X\to Y$ , например схем в алгебраической геометрии, часто работают с пучками ${\mathcal {O}}_{Y}$ -модулей, где ${\mathcal {O}}_{Y}$ — структурный пучок $Y$ . Тогда функтор $f^{-1}$ не подходит, так как результат его применения, вообще говоря, не является пучком ${\mathcal {O}}_{X}$ -модулей. Чтобы исправить это, в этой ситуации для пучка ${\mathcal {O}}_{Y}$ -модулей ${\mathcal {G}}$ его обратный образ определяется по правилу

f^{*}{\mathcal {G}}:=f^{-1}{\mathcal {G}}\otimes _{f^{-1}{\mathcal {O}}_{Y}}{\mathcal {O}}_{X}

.

Свойства[править | править код]

Хотя $f^{-1}$ определяется сложнее, чем $f_{\ast }$ , его слои вычисляются проще: для точки $x\in X$ , имеем $(f^{-1}{\mathcal {G}})_{x}\cong {\mathcal {G}}_{f(x)}$ .
$f^{-1}$ — точный функтор, как видно из приведённого выше вычисления слоёв.
$f^{*}$ , вообще говоря, только точен справа. Если $f^{*}$ точен, f называется плоским.
$f^{-1}$ сопряжён слева к функтору прямого образа $f_{\ast }$ , то есть существует естественный изоморфизм