Точный функтор

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Точный функтор — функтор, который переводит точные последовательности в точные. Точные функторы удобны для вычислений в гомологической алгебре, поскольку их можно сразу применять к резольвентам объектов. Бо́льшая часть гомологической алгебры была построена для того, чтобы сделать возможной работу с функторами, которые не являются точными, но их отличие от точных поддаётся контролю.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть и  — абелевы категории и  — аддитивный функтор. Рассмотрим произвольную короткую точную последовательность:

объектов .

Если  — ковариантный функтор, является:

  • полуточным, если точна;
  • точным слева, если точна;
  • точным справа, если точна;
  • точным, если точна.

Если  — контравариантный функтор из в , является:

  • полуточным, если точна;
  • точным слева, если точна;
  • точным справа, если точна;
  • точным, если точна.

Не обязательно брать в качестве исходной последовательность именно такого вида; например, точный функтор можно определить как функтор, переводящий точные последовательности вида в точные последовательности.

Существует ещё одно определение точного функтора: ковариантный функтор точен слева тогда и только тогда, когда он переводит конечные пределы в пределы. При замене слова «ковариантный» на «контравариантный» или «слева» на «справа» нужно одновременно заменить «пределы» на «копределы». Точный функтор — это функтор, точный слева и справа.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Любая эквивалентность абелевых категорий точна.
  • Наиболее важный пример точного слева функтора — функтор Hom. Если  — произвольная абелева категория и  — её объект, то  — ковариантный аддитивный функтор в категорию абелевых групп[1]. Этот функтор является точным тогда и только тогда, когда проективен. Соответственно, контравариантный функтор точен тогда и только тогда, когда инъективен.
  • Если  — правый -модуль, то возможно определить функтор из категории левых -модулей в с помощью тензорного произведения над . Этот функтор является точным справа; он точен тогда и только тогда, когда  — плоский модуль.
  • Предыдущие два примера можно обобщить: в любой паре сопряженных аддитивных функторов левый сопряженный точен справа, а правый сопряженный точен слева.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Джекобсон, 2009, Theorem 3.1, p. 98.

Литература[править | править вики-текст]

  • Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — Факториал Пресс, 2003 — ISBN 5-88688-067-4.
  • Nathan Jacobson. Basic algebra. — 2nd. — Dover, 2009. — Т. 2. — ISBN 978-0-486-47187-7.
  • Artin, Michael; Alexandre Grothendieck, Jean-Louis Verdier, eds. (1972). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie — 1963-64 — Théorie des topos et cohomologie étale des schémas — (SGA 4) — vol. 1. Lecture notes in mathematics (in French) 269. Berlin; New York: Springer-Verlag. xix+525. doi:10.1007/BFb0081551. ISBN 978-3-540-05896-0.