Точный функтор

Точный функтор — функтор, который переводит точные последовательности в точные. Точные функторы удобны для вычислений в гомологической алгебре, поскольку их можно сразу применять к резольвентам объектов. Бо́льшая часть гомологической алгебры была построена для того, чтобы сделать возможной работу с функторами, которые не являются точными, но их отличие от точных поддаётся контролю.

Определение

Пусть $P$ и $Q$ — абелевы категории и $F:P\to Q$ — аддитивный функтор. Рассмотрим произвольную короткую точную последовательность:

$0\to A\to B\to C\to 0$

объектов $P$.

Если $F$ — ковариантный функтор, $F$ является:

• полуточным, если $F(A)\to F(B)\to F(C)$ точна;
• точным слева, если $0\to F(A)\to F(B)\to F(C)$ точна;
• точным справа, если $F(A)\to F(B)\to F(C)\to 0$ точна;
• точным, если $0\to F(A)\to F(B)\to F(C)\to 0$ точна.

Если $G$ — контравариантный функтор из $P$ в $Q$, $G$ является:

• полуточным, если $G(C)\to G(B)\to G(A)$ точна;
• точным слева, если $0\to G(C)\to G(B)\to G(A)$ точна;
• точным справа, если $G(C)\to G(B)\to G(A)\to 0$ точна;
• точным, если $0\to G(C)\to G(B)\to G(A)\to 0$ точна.

Не обязательно брать в качестве исходной последовательность именно такого вида; например, точный функтор можно определить как функтор, переводящий точные последовательности вида $A\to B\to C$ в точные последовательности.

Существует ещё одно определение точного функтора: ковариантный функтор точен слева тогда и только тогда, когда он переводит конечные пределы в пределы. При замене слова «ковариантный» на «контравариантный» или «слева» на «справа» нужно одновременно заменить «пределы» на «копределы». Точный функтор — это функтор, точный слева и справа.

Примеры

• Любая эквивалентность абелевых категорий точна.
• Наиболее важный пример точного слева функтора — функтор Hom. Если ${\mathcal {A}}$ — произвольная абелева категория и $A$ — её объект, то $\mathrm {Hom} _{\mathcal {A}}(A,X)$ — ковариантный аддитивный функтор в категорию абелевых групп. Этот функтор является точным тогда и только тогда, когда $A$ проективен. Соответственно, контравариантный функтор $\mathrm {Hom} _{\mathcal {A}}(X,A)$ точен тогда и только тогда, когда $A$ инъективен.
• Если $T$ — правый $R$-модуль, то возможно определить функтор $H_{T}$ из категории левых $R$-модулей в $\mathbf {Ab}$ с помощью тензорного произведения над $R:H_{T}(X)=T\otimes X$. Этот функтор является точным справа; он точен тогда и только тогда, когда $T$ — плоский модуль.
• Предыдущие два примера можно обобщить: в любой паре сопряженных аддитивных функторов левый сопряженный точен справа, а правый сопряженный точен слева.

Литература

• Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — Факториал Пресс, 2003 — ISBN 5-88688-067-4.
• Nathan Jacobson. Basic algebra. — 2nd. — Dover, 2009. — Т. 2. — ISBN 978-0-486-47187-7.
• Artin, Michael; Alexandre Grothendieck, Jean-Louis Verdier, eds. (1972). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie — 1963-64 — Théorie des topos et cohomologie étale des schémas — (SGA 4) — vol. 1. Lecture notes in mathematics (in French) 269. Berlin; New York: Springer-Verlag. xix+525. doi:10.1007/BFb0081551. ISBN 978-3-540-05896-0.