Функция Ангера

Функция Ангера

Функция Ангера — неэлементарная функция, которая является частным решением неоднородного уравнения Бесселя:

$z^{2}{\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}+z{\frac {df}{dz}}+(z^{2}-\nu ^{2})f=(z-\nu ){\frac {\sin(\pi \nu )}{\pi }}$

Интегральное выражение функции Ангера:

${\mathsf {J}}_{\nu }(z)={\mathsf {J}}_{\nu ,0}(z)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(\nu \theta -z\cdot \sin \theta )d\theta$

где ${\mathsf {J}}_{\nu ,0}(z)$ — функция Бурже.

При целых $\nu$ функция Ангера совпадает с функцией Бесселя. Поэтому часто при определении функции Бесселя даётся укороченный интеграл, идентичный функции Ангера. На самом деле, при нецелых $\nu$ между ними есть разница:

${\mathsf {J}}_{\nu }(z)-J_{\nu }(z)={\frac {\sin \nu \pi }{\pi }}\int _{0}^{\infty }\exp(-\nu \theta -z\cdot \mathrm {sh} \theta )d\theta$

Соотношение с функцией Вебера:

${\mathsf {J}}_{\nu }(z)\cdot \sin(\pi \nu )={\mathsf {E}}_{\nu }(z)\cdot \cos(\pi \nu )-{\mathsf {E}}_{-\nu }(z)$

Разложение в степенной ряд:

$\mathbf {J} _{\nu }(z)=\cos {\frac {\pi \nu }{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{4^{k}\Gamma \left(k+{\frac {\nu }{2}}+1\right)\Gamma \left(k-{\frac {\nu }{2}}+1\right)}}+\sin {\frac {\pi \nu }{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k+1}}{2^{2k+1}\Gamma \left(k+{\frac {\nu }{2}}+{\frac {3}{2}}\right)\Gamma \left(k-{\frac {\nu }{2}}+{\frac {3}{2}}\right)}}.$

Литература

• Функция Ангера — статья из Математической энциклопедии

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Anger Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.