Число Кэрола

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Число Кэрола — это целое вида 4^n - 2^{n + 1} - 1.

Эквивалентная форма — (2^n - 1)^2 - 2.

Несколько первых чисел Кэрола:

−1, 7, 47, 223, 959, 3967, 16 127, 65 023, 261 119, 1 046 527 (последовательность A093112 в OEIS).

Числа Кэрола впервые изучены Клетусом Эммануэлем (Cletus Emmanuel), назвавшим числа именем своего друга — Кэрола Г. Кирнона (Carol G. Kirnon)[1][2].

Для n > 2 двоичное представление n-го числа Кэрола состоит из n − 2 последовательных единиц, единственного нуля и еще n + 1 последовательных единиц, или, в алгебраической форме,

\sum_{i \ne n + 2}^{2n} 2^{i - 1}.

Таким образом, например, 47 выглядит как 101111 в двоичном виде, а 223 как 11011111. Разница между 2n-ым простым числом Мерсенна и n-ым числом Кэрола равна 2^{n + 1}. Это даёт ещё одно Эквивалентное выражение для чисел Кэрола, (2^{2n} - 1) - 2^{n + 1}. Разница между n-ым числом Кайни и n-ым числом Кэрола равна (n + 2)-ой степени двух.

Начиная с 7 каждое третье число Кэрола делится на 7.

Таким образом, чтобы число Кэрола было простым числом, его индекс n не может иметь вид 3x + 2 для x > 0.

Первые несколько чисел Кэрола, являющихся также простыми числами:

7, 47, 223, 3967, 16 127 (A091516).

К июлю 2007 года наибольшее известное число Кэрола, являющееся простым, — число для n = 253 987, имеющее 152 916 знаков[3][4]. Оно найдено Клетусом Эммануэлем (Cletus Emmanuel) в мае 2007 года, используя программы MultiSieve и PrimeFormGW. Это 40-е простое Кэрола.

7-е число Кэрола и 5-е простое число Кэрола (16 127) является также простым, если переставить цифры в обратном порядке[5]. 12-е число Кэрола и 7-е простое Кэрола (16 769 023) имеет то же свойство[6].

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Cletus Emmanuel at Prime Pages
  2. Message to Yahoo primenumbers group from Cletus Emmanuel
  3. 253987-е число Кэрола на Prime Pages
  4. Carol Primes and Kynea Primes by Steven Harvey
  5. 16127 — статья из словаря интересных фактов о простых числах «Prime Curios!» (ISBN 978-1-4486-5170-2)
  6. 16769023 — статья из словаря интересных фактов о простых числах «Prime Curios!» (ISBN 978-1-4486-5170-2)

Ссылки[править | править вики-текст]