Число вращения

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В теории динамических систем, области математики, число вращения сохраняющего ориентацию гомеоморфизма окружности — среднее "число оборотов за одну итерацию" при длительном итерировании точки. Более точно, это предел отношения (некоторым образом определённого) "числа оборотов" к количеству итераций.

Определение[править | править вики-текст]

Для формального определения, вместо гомеоморфизма окружности рассматривают его поднятие для накрытия окружности прямой . Число сдвига этого поднятия определяется как предел

где — произвольная точка. Число вращения f тогда определяется как

.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Число вращения является инвариантом сохраняющего ориентацию топологического сопряжения, и даже полусопряжения отображениями степени 1: если — отображение степени 1, такое, что , где — гомеоморфизмы окружности, то числа вращения и совпадают.
  • Как утверждает теорема Пуанкаре, число вращения рационально тогда и только тогда, когда у отображения есть периодическая точка.
  • Теорема Данжуа утверждает, что, если отображение — C2-гладкое, а его число вращения иррационально, то сопряжено повороту на .
  • Число вращения непрерывно зависит от гомеоморфизма — отображение непрерывно.

Литература[править | править вики-текст]

  • А. Б. Каток, Б. Хасселблат. Введение в современную теорию динамических систем = Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems / пер. с англ. А. Кононенко при участии С. Ферлегера. — М.: Факториал, 1999. — 768 с. — ISBN 5-88688-042-9.