Число вращения

В теории динамических систем, области математики, число вращения сохраняющего ориентацию гомеоморфизма окружности — среднее "число оборотов за одну итерацию" при длительном итерировании точки. Более точно, это предел отношения (некоторым образом определённого) "числа оборотов" к количеству итераций.

Определение

Для формального определения, вместо гомеоморфизма окружности $f:S^{1}\to S^{1}$ рассматривают его поднятие $F:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ для накрытия окружности прямой $S^{1}=\mathbb {R} /\mathbb {Z}$. Число сдвига этого поднятия определяется как предел

$\tau (F)=\lim _{n\to \infty }{\frac {F^{n}(x)-x}{n}},$

где $x\in \mathbb {R}$ — произвольная точка. Число вращения f тогда определяется как

$\rho (f):=\tau (F)\mod 1\,\in \mathbb {R} /\mathbb {Z}$.

Свойства

• Число вращения является инвариантом сохраняющего ориентацию топологического сопряжения, и даже полусопряжения отображениями степени 1: если $h:S^{1}\to S^{1}$ — отображение степени 1, такое, что $f\circ h=h\circ g$, где $f,g$ — гомеоморфизмы окружности, то числа вращения $f$ и $g$ совпадают.
• Как утверждает теорема Пуанкаре, число вращения рационально тогда и только тогда, когда у отображения есть периодическая точка.
• Теорема Данжуа утверждает, что, если отображение $f$ — C²-гладкое, а его число вращения $\rho (f)$ иррационально, то $f$ сопряжено повороту на $\rho (f)$.
• Число вращения непрерывно зависит от гомеоморфизма — отображение $\rho :Homeo(S^{1})\to S^{1}$ непрерывно.

Литература

• Каток А. Б., Хассельблат Б.. Введение в современную теорию динамических систем = Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems / пер. с англ. А. Кононенко при участии С. Ферлегера. — М.: Факториал, 1999. — 768 с. — ISBN 5-88688-042-9.