Экстремаль

Экстремаль (от лат.  extremus — крайний), интегральная кривая дифференциального уравнения Эйлера в вариационном исчислении. Является гладким решением уравнения Эйлера.

Простейшая задача вариационного исчисления состоит в нахождении экстремума функционала

$J(y)=\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(x,y,y^{\prime })\!~dx$

(1)

среди гладких кривых $y(x),$ удовлетворяющих граничным условиям

$y(x_{1})=y_{1},\,y(x_{2})=y_{2}.$

(2)

тогда уравнение Эйлера примет вид

$F_{y}-{\frac {d}{dx}}\!F_{y'}=0$

обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка, которое в развёрнутом виде запишется следующим образом

$F_{y'y'}y''+F_{y'y}y'+F_{y'x}-F_{y}=0$

(3)

$y(x)$ называется экстремалем, если экстремум в (1), (2) достигается на гладкой кривой $y(x)$, $x_{1}\leqslant x\leqslant x_{2}$, то есть если $y(x)$ является решением уравнения Эйлера (3).

Ссылки

• И. М. Виноградов. Экстремаль // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия (рус.). — 1977—1985. — Математическая энциклопедия.
• Экстремаль — статья из Большой советской энциклопедии. 
• Дифференциальное уравнение Эйлера, математический форум MathHelpPlanet.