Представление Лакса

Уравнение Лакса — дифференциальное уравнение для матриц вида ${\dot {L}}=AL-LA$, где $A,L$ — квадратные матрицы, элементы которых зависят от $x_{1},...,x_{n}$. Представление систем дифференциальных уравнений в виде уравнений Лакса является одним из способов нахождения первых интегралов гамильтоновых систем.

Первый интеграл уравнения Лакса

Функции $f_{k}(x_{1},...,x_{n})=tr(L^{k})$ являются первыми интегралами уравнения Лакса (если они не константы).

Доказательство

Пусть $B(t)$ — решение уравнения ${\dot {B}}=-BA$ с начальным условием $B(0)=E$. Тогда, согласно формуле Якоби $\det B(t)=\exp \left(\int _{0}^{t}A(s)ds\right)\neq 0$. Также имеем ${\dot {(}}BLB^{-1})={\dot {B}}LB^{-1}+B{\dot {L}}B^{-1}+BL{\dot {(}}B^{-1})=-BALB^{-1}+B(AL-LA)B^{-1}+BLB^{-1}(BA)B^{-1}=0$. Из этого вытекает, что жорданова нормальная форма матрицы $L$ не изменяется и её собственные значения тоже.

Литература

• Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М.: Наука, 1996. — 304 с. — ISBN 5-02-014727-3.