Теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов

Теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов утверждает, что

всякое натуральное число можно представить в виде суммы четырёх квадратов целых чисел.

Доказательство теоремы предоставляет собой алгоритм, позволяющий находить такое представление для числа $N$ с помощью $O(N^{2}\log _{2}{N})$ арифметических операций, где $O$ — «o» большое.

Другой вариант доказательства основан на использовании алгебраических свойств кватернионов.

Теорема является решением проблемы Варинга для степени $n=2$. Поскольку числа вида $4^{m}(8n+7),$ где ${\overline {m,n}}={\overline {0,1,2,\;\ldots }},$ не представимы суммой трёх квадратов согласно теореме Лежандра о трёх квадратах, то теорема Лагранжа даёт одно из двух известных значений функции Харди $G(2)=4$.

Примеры

${\begin{aligned}3&=1^{2}+1^{2}+1^{2}+0^{2};\\31&=5^{2}+2^{2}+1^{2}+1^{2};\\310&=17^{2}+4^{2}+2^{2}+1^{2};\\9&=3^{2}+0^{2}+0^{2}+0^{2}.\end{aligned}}$

История

Утверждение теоремы впервые появилось в Арифметике Диофанта, переведённой на латынь Баше в 1621 году. Важную для теоремы лемму о том, что произведение сумм четырёх квадратов есть сумма четырёх квадратов, доказал Эйлер, который был близок к доказательству самой теоремы Лагранжа и много сделал лично для Лагранжа. Однако Лагранж опередил Эйлера и доказал теорему в 1770 году.