Теорема Куранта — Фишера

Не следует путать с теоремой Неймана-Моргенштерна о минимаксе.

Теорема Куранта — Фишера — теорема о свойстве эрмитова оператора в гильбертовом пространстве функций. Также называется теоремой о минимаксе.

Формулировка

$\lambda _{k}=\inf \limits _{L_{k}}\sup \limits _{x\in L_{k}\cap S}{\frac {(Ax,x)}{(x,x)}}$

$A$ — линейный самосопряжённый оператор, действующий в конечномерном комплексном или действительном пространстве,

$S$ — единичная сфера,

$e=e_{1}\dots e_{n}$ — ортонормированный базис пространства $V$, состоящий из собственных векторов оператора $A$,

$\lambda _{k}$ — $k$-ое собственное значение оператора $A$ и $\lambda _{1}\leq \lambda _{2}\leq \dots \leq \lambda _{n}$

$L_{k}$ — $k$-мерное подпространство $V$.

Доказательство

$p=n-k+1$,
$L_{k}$ — $k$-мерное подпространство $V$,
$W_{n-k+1}$ — линейная оболочка векторов $e_{k}\dots e_{n}$.
$\dim L_{k}+\dim W_{n-k+1}=n+1$.
Откуда следует, что $L_{k}\cap W_{n-k+1}\neq {\varnothing }$. Пусть $x_{0}\in L_{k}\cap W_{n-k+1}$ и $\ \|x_{0}\|=1$.
Так как $\lambda _{k}=\sup \limits _{x\in L_{k}\cap S}(Ax,x),$ то ${\frac {(Ax_{0},x_{0})}{(x_{0},x_{0})}}\leq \lambda _{k}$.
С другой стороны: так как $x_{0}\in L_{k}$ то

$\inf \limits _{x\in L_{k}\cap S}(Ax,x)\leq \lambda _{k}$

$\sup \limits _{L_{k}}\inf \limits _{x\in L_{k}\cap S}(Ax,x)\leq \lambda _{k}$

Равенство достигается при $L_{k}=L({e_{1}\dots e_{k}})$.

Дополнительно

Очевидно, что $\sup \limits _{L_{k}}\inf \limits _{x\in L_{k}\cap S}(Ax,x)=\inf \limits _{L_{n-k+1}}\sup \limits _{x\in L_{n-k+1}\cap S}(Ax,x)$.

Литература

1. Р. Беллман. Введение в теорию матриц
2. Ланкстер. Теория Матриц
3. Прасолов Задачи и теоремы линейной алгебры.
4. Ильин, Ким. Линейная алгебра и аналитическая геометрия